Каково наибольшее возможное значение суммы x+y, если xy и yx являются натуральными числами, а значение выражения

Ячмень

12

Для того чтобы найти наибольшее возможное значение суммы \(x+y\), когда \(xy\) и \(yx\) являются натуральными числами, а значение выражения \(xy-y:yx-x\) равно \(k\), где \(k\) - произвольное натуральное число, рассмотрим следующие шаги:

1. Разложим выражение \(xy-y:yx-x\) на отдельные члены:
\[xy - \frac{y}{yx} - x\]

2. Поделим \(y\) на \(yx\):
\[xy - \frac{1}{x} - x\]

3. Приведем дробь к общему знаменателю, чтобы сложить числитель и получить сумму:
\[\frac{xyx}{x} - \frac{1}{x} - x\]

4. Сократим дробь в числителе:
\[xy - \frac{1}{x} - x\]

5. Теперь у нас есть выражение \(xy - \frac{1}{x} - x\), которое равно \(k\).

Для нахождения наибольшего значения \(x+y\) мы должны минимизировать выражение \(xy - \frac{1}{x} - x\). Для этого воспользуемся неравенством между арифметическим и геометрическим средним:

\[xy - \frac{1}{x} - x \geq -2\sqrt{xy}\]

6. Заменим \(xy\) на \(t\). Тогда получим:
\[t - \frac{1}{x} - x \geq -2\sqrt{t}\]

7. Приведем это неравенство к квадратному виду:
\[t + 2\sqrt{t} - \frac{1}{x} - x \geq 0\]

8. Разделим на \(x\):
\[\frac{t}{x} + 2\sqrt{\frac{t}{x}} - 1 - x \geq 0\]

Теперь мы можем найти условие минимальности выражения \(\frac{t}{x} + 2\sqrt{\frac{t}{x}} - 1 - x\).

9. Дифференцируем это выражение по переменной \(x\):
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{t}{x} + 2\sqrt{\frac{t}{x}} - 1 - x\right) = -\frac{t}{x^2} + \frac{t}{x^2\sqrt{\frac{t}{x}}} - 1\]

10. Приравниваем это выражение к нулю и решаем уравнение:
\[-\frac{t}{x^2} + \frac{t}{x^2\sqrt{\frac{t}{x}}} - 1 = 0\]

11. Решение этого уравнения даст нам значение \(x\), при котором выражение \(\frac{t}{x} + 2\sqrt{\frac{t}{x}} - 1 - x\) достигает минимального значения.

Чтобы продолжить решение задачи, нам потребуется конкретное значение \(k\). Пожалуйста, предоставьте это значение.