Каково наименьшее и наибольшее значение выражения? а) 3cos(в квадрате)a -sin(в квадрате)a б) 4sin(в 4 степени)a

Константин

5

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства тригонометрических функций и алгебры. Ответ буду давать в том порядке, который был указан.

а) Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значение выражения \(3\cos^2(a) - \sin^2(a)\), мы можем использовать свойства тригонометрических функций.

Мы знаем, что \(\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)\). Подставим это в исходное выражение:

\[3\cos^2(a) - \sin^2(a) = 3(1 - \sin^2(a)) - \sin^2(a) = 3 - 3\sin^2(a) - \sin^2(a) = 3 - 4\sin^2(a)\]

Теперь наша задача сводится к поиску минимального и максимального значения функции \(f(\sin(a)) = 3 - 4\sin^2(a)\). Для этого мы можем исследовать поведение функции \(f(x)\) на отрезке \([-1, 1]\).

Найдем производную функции \(f(x)\):

\[f"(x) = -8\sin(a)\cos(a)\]

На отрезке \([-1, 1]\), производная равна нулю только при \(\sin(a) = 0\) или \(\cos(a) = 0\). Решим эти уравнения:

\(\sin(a) = 0\) при \(a = 0, \pi, 2\pi, \ldots\) (это моменты, когда функция достигает своих экстремумов)

\(\cos(a) = 0\) при \(a = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots\) (это моменты, когда функция достигает своего минимума или максимума)

Исследуем поведение функции \(f(x)\) в окрестности найденных значений:

1. Когда \(\sin(a) = 0\), то \(f(\sin(a)) = 3 - 4 \cdot 0^2 = 3\) (максимальное значение функции).

2. Когда \(\cos(a) = 0\), то \(f(\sin(a)) = 3 - 4 \cdot 1^2 = -1\) (минимальное значение функции).

Таким образом, наименьшим значением выражения является -1, а наибольшим значением является 3.

б) Для выражения \(4\sin^4(a) - 4\cos^4(a)\), также воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

Мы знаем, что \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\), из этого следует, что \(\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a)\). Подставим это в исходное выражение:

\[4\sin^4(a) - 4\cos^4(a) = 4(1 - \cos^2(a))^2 - 4\cos^4(a) = 4(1 - 2\cos^2(a) + \cos^4(a)) - 4\cos^4(a)\]

Упростим полученное выражение:

\[4 - 8\cos^2(a) + 4\cos^4(a) - 4\cos^4(a) = 4 - 8\cos^2(a)\]

Теперь наша задача заключается в нахождении минимального и максимального значения функции \(f(\cos(a)) = 4 - 8\cos^2(a)\). Для этого мы можем исследовать поведение функции \(f(x)\) на отрезке \([-1, 1]\).

Найдем производную функции \(f(x)\):

\[f"(x) = -16\cos(a)\]

На отрезке \([-1, 1]\), производная равна нулю только при \(\cos(a) = 0\). Решим уравнение:

\(\cos(a) = 0\) при \(a = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots\) (это моменты, когда функция достигает своего экстремума)

Исследуем поведение функции \(f(x)\) в окрестности найденных значений:

1. Когда \(\cos(a) = 0\), то \(f(\cos(a)) = 4 - 8 \cdot 0 = 4\) (максимальное значение функции).

Таким образом, наименьшим значением выражения является 4, а наибольшим значением такого выражения не существует.

Итак, ответ на задачу:

а) Наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее значение равно 3.

б) Наименьшим значением выражения является 4, а наибольшего значения не существует.