Каково наименьшее и наибольшее значение выражения? а) 3cos(в квадрате)a -sin(в квадрате)a б) 4sin(в 4 степени)a

Константин

5

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства тригонометрических функций и алгебры. Ответ буду давать в том порядке, который был указан.

а) Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значение выражения $3{\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)$, мы можем использовать свойства тригонометрических функций.

Мы знаем, что ${\cos }^2(a)=1-{\sin }^2(a)$. Подставим это в исходное выражение:

$$3{\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)=3(1-{\sin }^2(a))-{\sin }^2(a)=3-3{\sin }^2(a)-{\sin }^2(a)=3-4{\sin }^2(a)$$

Теперь наша задача сводится к поиску минимального и максимального значения функции $f(\sin (a))=3-4{\sin }^2(a)$. Для этого мы можем исследовать поведение функции $f(x)$ на отрезке $[-1,1]$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$$f"(x)=-8\sin (a)\cos (a)$$

На отрезке $[-1,1]$, производная равна нулю только при $\sin (a)=0$ или $\cos (a)=0$. Решим эти уравнения:

$\sin (a)=0$ при $a=0,\pi ,2\pi ,\dots$ (это моменты, когда функция достигает своих экстремумов)

$\cos (a)=0$ при $a=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\dots$ (это моменты, когда функция достигает своего минимума или максимума)

Исследуем поведение функции $f(x)$ в окрестности найденных значений:

1. Когда $\sin (a)=0$, то $f(\sin (a))=3-4\cdot 0^2=3$ (максимальное значение функции).

2. Когда $\cos (a)=0$, то $f(\sin (a))=3-4\cdot 1^2=-1$ (минимальное значение функции).

Таким образом, наименьшим значением выражения является -1, а наибольшим значением является 3.

б) Для выражения $4{\sin }^4(a)-4{\cos }^4(a)$, также воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

Мы знаем, что ${\sin }^2(a)+{\cos }^2(a)=1$, из этого следует, что ${\sin }^2(a)=1-{\cos }^2(a)$. Подставим это в исходное выражение:

$$4{\sin }^4(a)-4{\cos }^4(a)=4(1-{\cos }^2(a){)}^2-4{\cos }^4(a)=4(1-2{\cos }^2(a)+{\cos }^4(a))-4{\cos }^4(a)$$

Упростим полученное выражение:

$$4-8{\cos }^2(a)+4{\cos }^4(a)-4{\cos }^4(a)=4-8{\cos }^2(a)$$

Теперь наша задача заключается в нахождении минимального и максимального значения функции $f(\cos (a))=4-8{\cos }^2(a)$. Для этого мы можем исследовать поведение функции $f(x)$ на отрезке $[-1,1]$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$$f"(x)=-16\cos (a)$$

На отрезке $[-1,1]$, производная равна нулю только при $\cos (a)=0$. Решим уравнение:

$\cos (a)=0$ при $a=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\dots$ (это моменты, когда функция достигает своего экстремума)

Исследуем поведение функции $f(x)$ в окрестности найденных значений:

1. Когда $\cos (a)=0$, то $f(\cos (a))=4-8\cdot 0=4$ (максимальное значение функции).

Таким образом, наименьшим значением выражения является 4, а наибольшим значением такого выражения не существует.

Итак, ответ на задачу:

а) Наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее значение равно 3.

б) Наименьшим значением выражения является 4, а наибольшего значения не существует.