Каково наименьшее значение функции y=7x-ln(x+8)^7 на интервале [-7,5]?

Оксана_1454

21

Для решения этой задачи мы будем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте найдем минимум функции \(y=7x-\ln{(x+8)^7}\) на интервале \([-7, 5]\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по \(x\). Для этого мы применим правило дифференцирования сложной функции:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (7x-\ln{(x+8)^7})\]

Дифференцируя первое слагаемое, получаем \(7\). Дифференцируя второе слагаемое, применяем правило дифференцирования логарифма и степенной функции:
\[\frac{d}{dx} (-\ln{(x+8)^7}) = -\frac{7}{(x+8)^7} \cdot \frac{d}{dx}(x+8)^7\]

Продифференцировав \((x+8)^7\), получаем \(7(x+8)^6\). Таким образом, производная функции \(y\) будет:
\[\frac{dy}{dx} = 7 - \frac{7}{(x+8)^7} \cdot 7(x+8)^6\]

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю:
\[7 - \frac{7}{(x+8)^7} \cdot 7(x+8)^6 = 0\]

Упрощая это уравнение, получаем:
\[1 - \frac{1}{(x+8)^7} \cdot (x+8)^6 = 0\]

Домножим обе части уравнения на \((x+8)^7\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[(x+8)^7 - (x+8)^6 = 0\]

Факторизуя это уравнение, получаем:
\[(x+8)^6 \cdot [(x+8) - 1] = 0\]

Таким образом, мы имеем две критические точки: \(x_1 = -8\) и \(x_2 = -7\) (поскольку \(x+8\) не может быть равным нулю из-за натурального логарифма).

Шаг 3: Определим значения функции \(y\) в этих критических точках. Подставим \(x_1 = -8\) и \(x_2 = -7\) в исходную функцию \(y = 7x - \ln{(x+8)^7}\), чтобы получить соответствующие значения функции \(y\).

При \(x = -8\):
\[y = 7(-8) - \ln{(-8+8)^7} = -56\]

При \(x = -7\):
\[y = 7(-7) - \ln{(-7+8)^7} = -41 - \ln{1} = -41\]

Шаг 4: Проверим значения функции \(y\) на границах интервала \([-7, 5]\).
Подставим \(x = -7\) и \(x = 5\) в исходную функцию \(y = 7x - \ln{(x+8)^7}\), чтобы получить соответствующие значения функции \(y\).

При \(x = -7\):
\[y = 7(-7) - \ln{(-7+8)^7} = -41 - \ln{1} = -41\]

При \(x = 5\):
\[y = 7(5) - \ln{(5+8)^7} = 35 - \ln{13^7}\]

Шаг 5: Сравним полученные значения функции \(y\) в критических точках, а также на границах интервала \([-7, 5]\).

Мы получили следующие значения функции \(y\):
\[y(-8) = -56\]
\[y(-7) = -41\]
\[y(5) = 35 - \ln{13^7}\]

Сравнивая эти значения, мы видим, что наименьшим значением функции \(y\) на интервале \([-7, 5]\) является \(-56\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y=7x-\ln{(x+8)^7}\) на интервале \([-7, 5]\) равно \(-56\).