Каково наименьшее значение коэффициента трения между шинами и дорогой, если автомобиль движется с ускорением

Morozhenoe_Vampir_1370

8

Для того чтобы найти наименьшее значение коэффициента трения между шинами и дорогой, мы можем использовать второй закон Ньютона для вертикального движения.

В данной задаче, автомобиль движется вверх по дороге под углом 17.5° к горизонтальной поверхности. Пусть \(m\) - масса автомобиля, \(g\) - ускорение свободного падения, \(N\) - нормальная сила, \(f\) - сила трения и \(a\) - ускорение автомобиля.

Когда автомобиль движется вверх, сила трения указывает вниз по дороге и направлена противоположно движению автомобиля. Так же, нормальная сила \(N\) направлена вертикально вверх.

Проекция силы тяжести параллельно дороге равна \(mg\sin(17.5°)\), а проекция нормальной силы \(N\) на дорогу равна \(mg\cos(17.5°)\).

Сумма всех сил, направленных вверх по дороге, равна \(N - mg\cos(17.5°)\), а сумма всех сил, направленных вниз по дороге, равна \(mg\sin(17.5°) + f\).

Согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих по вертикальной оси, равна произведению массы на ускорение:
\[N - mg\cos(17.5°) = ma\]

Также, поскольку автомобиль движется с ускорением \(1 \, \text{м/с}^2\), ускорение \(a = 1 \, \text{м/с}^2\).

Подставляя это значение в уравнение, получаем:
\[N - mg\cos(17.5°) = m \cdot 1\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно нормальной силы \(N\):
\[N = mg\cos(17.5°) + m\]

Теперь найдем силу трения \(f\) с учетом полученного значения нормальной силы \(N\):
\[f = mg\sin(17.5°) + m - N\]

Теперь мы можем записать уравнение силы трения:
\[f = mg\sin(17.5°) + m - (mg\cos(17.5°) + m)\]

Упрощая это уравнение, получаем:
\[f = mg\sin(17.5°) - mg\cos(17.5°)\]

Теперь, чтобы найти наименьшее значение коэффициента трения \(\mu\), мы можем использовать связь между силой трения \(f\) и нормальной силой \(N\):
\[f = \mu N\]

Подставляя выражение для силы трения из предыдущего уравнения, получаем:
\[mg\sin(17.5°) - mg\cos(17.5°) = \mu (mg\cos(17.5°) + m)\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:
\[mg\sin(17.5°) - mg\cos(17.5°) = \mu mg\cos(17.5°) + \mu m\]

Переносим все члены с \(\mu\) влево и раскрываем скобки:
\[\mu (mg\cos(17.5°) + m) = mg\sin(17.5°) - mg\cos(17.5°)\]

Подставляем выражение для нормальной силы \(N\) из предыдущего уравнения:
\[\mu (\mu mg\cos(17.5°) + m) = mg\sin(17.5°) - mg\cos(17.5°)\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:
\[\mu^2 mg\cos(17.5°) + \mu m = mg\sin(17.5°) - mg\cos(17.5°)\]

Переносим все члены с \(\mu\) влево и раскрываем скобки:
\[\mu^2 mg\cos(17.5°) - \mu m - mg\sin(17.5°) + mg\cos(17.5°) = 0\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(\mu\):
\[\mu^2 mg\cos(17.5°) - \mu m + mg\cos(17.5°) - mg\sin(17.5°) = 0\]

Чтобы найти наименьшее значение \(\mu\), можно использовать дискриминант квадратного уравнения. Обычно, для нахождения дискриминанта, необходимо использовать численные значения для \(m\) и \(g\), но в данном случае решение сразу становится очевидным.

Согласно законам физики, коэффициент трения не может быть отрицательным, поэтому дискриминант должен быть больше или равен нулю:
\[\Delta = (-m)^2 - 4(mg\cos(17.5°) - mg\sin(17.5°))(mg\cos(17.5°) + mg\sin(17.5°)) \geq 0\]

Раскрываем скобки и упрощаем неравенство:
\[m^2 + 4mg\sin(17.5°)mg\cos(17.5°) - 4(mg)^2\sin^2(17.5°) - 4(mg)^2\cos^2(17.5°) \geq 0\]

Сокращаем подобные члены:
\[m^2 + 4mg\sin(17.5°)mg\cos(17.5°) - 4(mg)^2(\sin^2(17.5°) + \cos^2(17.5°)) \geq 0\]

Так как \(\sin^2(17.5°) + \cos^2(17.5°) = 1\), то уравнение упрощается до:
\[m^2 + 4mg\sin(17.5°)mg\cos(17.5°) - 4(mg)^2 \geq 0\]

Сокращаем подобные члены еще раз:
\[m^2 + 4mg\sin(17.5°)mg\cos(17.5°) - 4(mg)^2 \geq 0\]

Теперь можно заметить, что первый член в левой части неравенства положительный, а все остальные члены отрицательные. Поэтому, чтобы неравенство выполнялось, наименьшее значение коэффициента трения \(\mu\) будет равно нулю.

Таким образом, наименьшее значение коэффициента трения между шинами и дорогой равно нулю. Это означает, что для автомобиля движущегося с ускорением 1 м/с вверх по дороге под углом 17.5°, трение между шинами и дорогой не является существенным и автомобиль может двигаться без трения.