Каково общее уравнение плоскости, если точка а(-4:5:2) принадлежит ей и вектор нормали плоскости n (3:2:1)? Очень нужна

Zagadochnyy_Les

9

Чтобы найти общее уравнение плоскости, имея точку на плоскости и вектор нормали, мы можем воспользоваться следующим шагом.

Общее уравнение плоскости имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - это коэффициенты, которые мы должны найти.

Шаг 1: Найдем коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\).
Известно, что вектор нормали плоскости \(\mathbf{n} = (3,2,1)\).
Этот вектор нормали параллелен плоскости, поэтому точку \(\mathbf{a} = (-4,5,2)\) можно соединить с любой точкой на плоскости, чтобы получить вектор на плоскости.
Таким образом, мы можем построить вектор \(\mathbf{v}\), который определяет направление от точки \(\mathbf{a}\) к другой точке \(\mathbf{r}\) на плоскости: \(\mathbf{v} = \mathbf{r} - \mathbf{a}\).

На этом шаге мы можем взять две произвольные точки на плоскости и построить векторы, чтобы найти два уравнения. Затем мы можем решить эти уравнения, чтобы найти значения \(A\), \(B\) и \(C\). Но есть один удобный способ сделать это.

Воспользуемся свойством скалярного произведения двух перпендикулярных векторов. Если мы возьмем вектор нормали плоскости \(\mathbf{n} = (3,2,1)\) и умножим его на вектор \(\mathbf{v} = (x,y,z)\), параллельный плоскости, то получим \(0\). Это означает, что \(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0\).

Используя координаты \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{v}\), мы можем составить следующее уравнение:
\((3,2,1) \cdot (x-(-4), y-5, z-2) = 0\)

После раскрытия скобок получим:
\(3(x+4) + 2(y-5) + 1(z-2) = 0\)

Раскроем скобки и соберем подобные слагаемые:
\(3x + 12 + 2y - 10 + z - 2 = 0\)

Сократим и упростим:
\(3x + 2y + z + 2 = 0\)

Таким образом, общее уравнение плоскости, проходящей через точку \((-4,5,2)\) и имеющей нормальный вектор \((3,2,1)\) выглядит следующим образом:
\(3x + 2y + z + 2 = 0\)