Каково отношение длин отрезков АХ и ХВ, если точка Х делит ребро АВ куба ABCDA1B1C1D в пропорции 2:3? Постройте

Добрая_Ведьма

14

длина ребра куба равна \(a\).

Для начала, найдем длины отрезков \(АХ\) и \(ХВ\).
Так как точка \(Х\) делит ребро \(АВ\) в пропорции 2:3, то можно сказать, что отрезок \(АХ\) составляет две части из пяти, а отрезок \(ХВ\) - три части из пяти:
\[\frac{{АХ}}{{АВ}} = \frac{{2}}{{5}}, \quad \frac{{ХВ}}{{АВ}} = \frac{{3}}{{5}}\]

Теперь мы можем найти длину отрезка \(АХ\). Длина ребра \(АВ\) равна \(a\), поэтому:
\[АХ = \frac{{2}}{{5}} \cdot a\]

Аналогично, длина отрезка \(ХВ\) будет:
\[ХВ = \frac{{3}}{{5}} \cdot a\]

Таким образом, отношение длин отрезков \(АХ\) и \(ХВ\) равно:
\[\frac{{АХ}}{{ХВ}} = \frac{{\frac{{2}}{{5}} \cdot a}}{{\frac{{3}}{{5}} \cdot a}} = \frac{{2}}{{3}}\]

Теперь перейдем к построению плоскости. Мы хотим построить плоскость, параллельную плоскостям \(АА_1С_1\), которая проходит через точку \(Х\).

Чтобы построить такую плоскость, возьмем две точки на плоскости \(АА_1С_1\) и проведем через них прямые, которые будут параллельны этой плоскости. Затем найдем пересечение этих прямых с плоскостью куба ABCDA1B1C1D. Точка пересечения прямых и будет лежать на искомой плоскости.

Для удобства возьмем две точки на плоскости \(АА_1С_1\), например, точки \(А\) и \(С_1\). Проведем прямые \(АХ\) и \(С_1Х\) через эти точки. Так как \(Х\) делит ребро \(АВ\) в пропорции 2:3, аналогично он делит ребро \(С_1С\) в той же пропорции. Значит, длины отрезков \(АХ\) и \(ХС_1\) удовлетворяют такой же пропорции:
\[\frac{{АХ}}{{ХС_1}} = \frac{{2}}{{3}}\]

Теперь нам нужно найти периметр сечения плоскостью, которая параллельна \(АА_1С_1\) и проходит через точку \(Х\).

Искомый периметр будет равен сумме длин ребер, образующих это сечение. Определим эти ребра на основании построения плоскости ABCDA1B1C1D.

Мы можем видеть, что такое сечение будет параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны. Соответственно, его периметр можно найти по формуле \(P = 2(x + y)\), где \(x\) и \(y\) - длины сторон параллелограмма.

Строение куба позволяет определить, что \(x = АХ\) и \(y = С_1Х\). Подставляем найденные значения:
\(x = \frac{{2}}{{5}} \cdot a\), \(y = \frac{{2}}{{5}} \cdot a\)

Тогда периметр сечения будет:
\[P = 2\left(\frac{{2}}{{5}} \cdot a + \frac{{3}}{{5}} \cdot a\right) = 2 \cdot \frac{{5}}{{5}} \cdot a = 2a\]

Таким образом, периметр сечения, образованного плоскостью, параллельной плоскостям \(АА_1С_1\) и проходящей через точку \(Х\), равен \(2a\).