КАКОВО отношение длины окружности к периметру квадрата И отношение площади круга к площади квадрата?

Сверкающий_Пегас

50

Давайте рассмотрим задачу о отношении длины окружности к периметру квадрата и отношении площади круга к площади квадрата.

1. Отношение длины окружности к периметру квадрата:

Представим, что у нас есть квадрат со стороной \(a\). Для нахождения периметра квадрата нужно просуммировать все его стороны. В данном случае, у квадрата все стороны равны \(a\), поэтому его периметр будет равен
\[P_{\text{квадрата}} = 4a\].

А чтобы найти длину окружности, вокруг которой можно вписать данный квадрат, воспользуемся формулой длины окружности:
\[L_{\text{окружности}} = 2\pi r\],
где \(r\) - радиус окружности, который равен половине стороны квадрата, т.е. \(r = \frac{a}{2}\).

Подставим эту величину в формулу длины окружности:
\[L_{\text{окружности}} = 2\pi \frac{a}{2} = \pi a\].

Теперь найдем отношение длины окружности к периметру квадрата:
\[\frac{{L_{\text{окружности}}}}{{P_{\text{квадрата}}}} = \frac{{\pi a}}{{4a}} = \frac{\pi}{4}\].

Итак, отношение длины окружности к периметру квадрата равно \(\frac{\pi}{4}\).

2. Отношение площади круга к площади квадрата:

Площадь квадрата можно найти, возведя в квадрат его сторону:
\[S_{\text{квадрата}} = a^2\].

А площадь круга вычисляется по формуле:
\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\],
где \(r\) - радиус окружности, равный половине стороны квадрата, то есть \(r = \frac{a}{2}\).

Подставим эту величину в формулу площади круга:
\[S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\].

Теперь найдем отношение площади круга к площади квадрата:
\[\frac{{S_{\text{круга}}}}{{S_{\text{квадрата}}}} = \frac{{\frac{\pi a^2}{4}}}{{a^2}} = \frac{\pi}{4}\].

Итак, отношение площади круга к площади квадрата тоже равно \(\frac{\pi}{4}\).

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что отношение длины окружности к периметру квадрата и отношение площади круга к площади квадрата одинаковы и равны \(\frac{\pi}{4}\).