10. Какова вероятность того, что команда России не будет включена в группу в чемпионате по футболу, где участвуют

Zvezdopad_V_Kosmose_3979

48

Чтобы решить эту задачу, нужно определить вероятность того, что команда России не будет включена в группу. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Определение общего количества способов распределения команд по группам.
В данной задаче нам дано, что участвуют 20 команд, и их необходимо распределить на 4 равные группы. Чтобы найти общее количество способов распределения, мы можем использовать комбинаторику.
Используя формулу размещений без повторений (аналогично тому, как мы распределили 20 команд по 4 группам), получаем:
\(C = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
где \(n\) - количество команд (20) и \(k\) - количество групп (4).

Подставляя значения в формулу, получаем:
\(C = \binom{20}{4} = \frac{20!}{4!(20-4)!}\)

Шаг 2: Определение количества способов, когда команда России не входит в выбранную группу.
Так как каждая группа - равная, то для каждой группы существует одинаковая вероятность быть выбранной для включения команды России. Следовательно, чтобы найти вероятность того, что команда России не попадет в одну из выбранных групп, мы можем найти количество способов распределения остальных 19 команд по 3 группам. Для этого мы можем использовать аналогичную формулу комбинаторики:
\(C_{\text{ост}} = \binom{19}{3} = \frac{19!}{3!(19-3)!}\)

Шаг 3: Определение вероятности.
Наконец, чтобы найти вероятность того, что команда России не будет включена в группу, мы можем использовать отношение количества способов, когда команда России не входит в выбранную группу, к общему количеству способов распределения команд.
Таким образом, вероятность равна:
\(P = \frac{C_{\text{ост}}}{C}\)

Подставляя значения в формулу:
\(P = \frac{\binom{19}{3}}{\binom{20}{4}}\)

Вычислим значения:
\(C = \binom{20}{4} = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)

\(C_{\text{ост}} = \binom{19}{3} = \frac{19!}{3!(19-3)!} = \frac{19!}{3!16!} = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17}{3 \cdot 2 \cdot 1}\)

Теперь мы можем найти вероятность:
\(P = \frac{C_{\text{ост}}}{C} = \frac{\frac{19 \cdot 18 \cdot 17}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\)

Мы можем сократить некоторые числа:
\(P = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\)

Таким образом, вероятность того, что команда России не будет включена в группу, равна \(\frac{1}{5}\) или 20%.