Каково отношение длины стороны AB к длине высоты, проведенной к этой стороне, в треугольнике ABC, изображенном

Андрей

67

Для решения этой задачи, давайте сначала определим, что такое отношение длины стороны к длине высоты в треугольнике.

Отношение длины стороны к длине высоты в треугольнике - это отношение длины стороны треугольника к длине вертикальной прямой (высоты), которая проведена из вершины треугольника к этой стороне. Обозначим длину стороны AB через \(a\), а длину высоты, проведенной к стороне AB, через \(h\).

Теперь мы можем перейти к решению задачи. Для начала, давайте рассмотрим изображенный на клетчатой бумаге треугольник ABC.

\[
\begin{array}{c}
C \\
\mid \\
\mid \\
B \\
\mid \\
\mid \\
A
\end{array}
\]

По условию, размер клетки на бумаге составляет 1x1. Затем давайте определим длины стороны AB и высоты, проведенной к этой стороне.

Для этого, давайте построим высоту, проведенную к стороне AB из вершины треугольника C. Заметим, что треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где сторона AB является гипотенузой, сторона BC является катетом, а сторона AC также является катетом. Так как сторона BC и сторона AC являются сторонами клеток на бумаге, и размер клетки составляет 1x1, то длины этих сторон равны 1.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину стороны AB:

\[AB = \sqrt{{AC}^2 + {BC}^2}\]
\[AB = \sqrt{1^2 + 1^2}\]
\[AB = \sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти длину высоты, проведенной к стороне AB, мы можем использовать свойство прямоугольных треугольников. Высота треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, сходных с исходным треугольником. Обозначим длину высоты через \(h\).

Верхний треугольник:

\[
\begin{array}{c}
C \\
\mid \\
\mid \\
B \\
\mid \\
\mid \\
A \\
\mid \\
\mid \\
H
\end{array}
\]

Нижний треугольник:

\[
\begin{array}{c}
B \\
\mid \\
\mid \\
H \\
\mid \\
\mid \\
A
\end{array}
\]

Теперь, заметим, что верхний треугольник и нижний треугольник являются подобными треугольниками. Поэтому отношение длины стороны AB к длине высоты \(h\) будет равно отношению длины стороны BH к длине стороны HА.

Так как сторона BH и сторона HA - это стороны клеток на бумаге, и размер клетки составляет 1x1, то длины этих сторон также равны 1.

Следовательно, отношение длины стороны AB к длине высоты \(h\) равно:
\[\frac{AB}{h} = \frac{BH}{HA} = \frac{1}{1} = 1\]

Таким образом, отношение длины стороны AB к длине высоты, проведенной к этой стороне, в треугольнике ABC, изображенном на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1, равно 1.