Каково отношение конечной плотности большого куба к его начальной плотности после замены трех маленьких кубиков

Ilya_6709

45

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определение начальной плотности большого куба
Начальная плотность большого куба - это отношение массы куба к его объему. Обозначим начальную плотность большого куба как \( \rho_1 \). Массу куба обозначим как \( m \), а его объем — как \( V \). Таким образом, начальная плотность можно выразить следующей формулой:

\[
\rho_1 = \frac{m}{V}
\]

Шаг 2: Определение конечной плотности после замены кубиков
Когда три маленьких кубика заменяются кубиками с большей плотностью в три раза, масса исходного большого куба остается неизменной, а объем уменьшается. Обозначим конечную плотность после замены кубиков как \( \rho_2 \), массу большого куба — как \( m \), а новый объем — как \( V" \). Тогда мы можем записать следующие уравнения:

\[
m = m
\]
\[
V" = V - 3V_{\text{маленького кубика}}
\]

Шаг 3: Определение плотности
Отношение плотности можно определить как отношение массы куба к его объему. Обозначим массу как \( m \), а объем как \( V \). Таким образом, плотность можно выразить следующей формулой:

\[
\rho = \frac{m}{V}
\]

Шаг 4: Нахождение конечной плотности
Подставим значение массы и конечного объема куба в уравнение для плотности:

\[
\rho_2 = \frac{m}{V"}
\]

Шаг 5: Подставление начальной плотности и выражение отношения
Теперь, когда у нас есть выражение для начальной плотности (\( \rho_1 \)) и выражение для конечной плотности (\( \rho_2 \)), мы можем подставить их в выражение для отношения:

\[
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\frac{m}{V"}}{\frac{m}{V}}
\]

Шаг 6: Упрощение выражения
Для упрощения этого выражения мы можем умножить и поделить его на \( V \):

\[
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\frac{m}{V"}}{\frac{m}{V}} = \frac{m}{V"} \cdot \frac{V}{m}
\]

Шаг 7: Упрощение дальше
Для дальнейшего упрощения мы можем заметить, что \( m \) сокращается:

\[
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{V"} \cdot V
\]

Шаг 8: Замена нового объема
Так как \( V" = V - 3V_{\text{маленького кубика}} \), мы можем подставить это значение в уравнение:

\[
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{V - 3V_{\text{маленького кубика}}} \cdot V
\]

Шаг 9: Упрощение выражения
Для завершения решения мы можем раскрыть скобки и упростить это выражение:

\[
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{V}{V - 3V_{\text{маленького кубика}}}
\]

Таким образом, отношение конечной плотности большого куба к его начальной плотности после замены трех маленьких кубиков на кубики с большей плотностью в три раза равно \( \frac{V}{V - 3V_{\text{маленького кубика}}} \).