Каково отношение конечной плотности большого куба к его начальной плотности после замены трех маленьких кубиков

Ilya_6709

45

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определение начальной плотности большого куба
Начальная плотность большого куба - это отношение массы куба к его объему. Обозначим начальную плотность большого куба как ${\rho }_1$. Массу куба обозначим как $m$, а его объем — как $V$. Таким образом, начальная плотность можно выразить следующей формулой:

$${\rho }_1=\frac{m}{V}$$

Шаг 2: Определение конечной плотности после замены кубиков
Когда три маленьких кубика заменяются кубиками с большей плотностью в три раза, масса исходного большого куба остается неизменной, а объем уменьшается. Обозначим конечную плотность после замены кубиков как ${\rho }_2$, массу большого куба — как $m$, а новый объем — как $V"$. Тогда мы можем записать следующие уравнения:

$$m=m$$
$$V"=V-3V_{\text{маленького кубика}}$$

Шаг 3: Определение плотности
Отношение плотности можно определить как отношение массы куба к его объему. Обозначим массу как $m$, а объем как $V$. Таким образом, плотность можно выразить следующей формулой:

$$\rho =\frac{m}{V}$$

Шаг 4: Нахождение конечной плотности
Подставим значение массы и конечного объема куба в уравнение для плотности:

$${\rho }_2=\frac{m}{V"}$$

Шаг 5: Подставление начальной плотности и выражение отношения
Теперь, когда у нас есть выражение для начальной плотности (${\rho }_1$) и выражение для конечной плотности (${\rho }_2$), мы можем подставить их в выражение для отношения:

$$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{\frac{m}{V"}}{\frac{m}{V}}$$

Шаг 6: Упрощение выражения
Для упрощения этого выражения мы можем умножить и поделить его на $V$:

$$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{\frac{m}{V"}}{\frac{m}{V}}=\frac{m}{V"}\cdot \frac{V}{m}$$

Шаг 7: Упрощение дальше
Для дальнейшего упрощения мы можем заметить, что $m$ сокращается:

$$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{1}{V"}\cdot V$$

Шаг 8: Замена нового объема
Так как $V"=V-3V_{\text{маленького кубика}}$, мы можем подставить это значение в уравнение:

$$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{1}{V-3V_{\text{маленького кубика}}}\cdot V$$

Шаг 9: Упрощение выражения
Для завершения решения мы можем раскрыть скобки и упростить это выражение:

$$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}=\frac{V}{V-3V_{\text{маленького кубика}}}$$

Таким образом, отношение конечной плотности большого куба к его начальной плотности после замены трех маленьких кубиков на кубики с большей плотностью в три раза равно $\frac{V}{V-3V_{\text{маленького кубика}}}$.