Каково отношение линейного радиуса Юпитера к радиусу Земли, если угловой радиус Юпитера равен 1,2, а его горизонтальный

Cikada

40

Для того чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать геометрический подход. По определению, горизонтальный параллакс — это угол, под которым наблюдается объект на фоне далеких звёзд при его съёмке с Земли. Для удобства обозначений, пусть \(R_J\) будет линейным радиусом Юпитера, а \(R_E\) — радиусом Земли.

Из геометрии известно, что связь между угловым радиусом и линейным радиусом задаётся следующим соотношением:

\[ \frac{R_J}{D_J} = \tan(\varphi_J) \],

где \(D_J\) - расстояние от Земли до Юпитера, а \(\varphi_J\) - угловой радиус Юпитера.

Также для Земли мы получаем аналогичное соотношение:

\[ \frac{R_E}{D_E} = \tan(\varphi_E) \],

где \(D_E\) - расстояние от Земли до объекта непосредственно перед заданным объектом, а \(\varphi_E\) - угловой радиус Земли.

Так как Юпитер и заданный объект лежат на одной горизонтали, то \(D_E = D_J\).

Расстояние от Земли до Юпитера, обозначим как \(D\). Тогда:

\[ D = D_J + D_E \].

Исходя из тригонометрических соотношений, можем записать:

\[ \tan(\varphi_J) = \frac{R_J}{D_J} = \frac{R_J}{D - D_E} \], (1)

\[ \tan(\varphi_E) = \frac{R_E}{D_E} \].

Так как у нас известны значения горизонтального параллакса \(\varphi_J\) и углового радиуса Юпитера, мы можем получить первое уравнение. Подставляя значения, получаем:

\[ \tan(1,2) = \frac{R_J}{D - D_E} \],

\[ \frac{1,2}{D - D_E} = \tan(1,2) \].

Также, известно, что горизонтальный параллакс задаётся формулой:

\[ \varphi_J = \frac{p}{D_J} \],

где \( p \) - горизонтальный параллакс, которому соответствует угловой радиус Юпитера, а \( D_J \) - расстояние от Земли до Юпитера.

Тогда:

\[ D_J = \frac{p}{\varphi_J} \].

Подставляя известные значения, получаем:

\[ D_J = \frac{0,25}{1,2} \],

\[ D_J = \frac{5}{24} \].

Таким образом, мы нашли расстояние от Земли до Юпитера. Теперь мы можем выразить \( D_E \) через найденное расстояние \( D_J \):

\[ D_E = D - D_J \].

Подставляя значения, получаем:

\[ D_E = D - \frac{5}{24} \].

Осталось только подставить полученные значения во второе уравнение и выразить отношение радиусов:

\[ \tan(\varphi_E) = \frac{R_E}{D_E} \],

\[ \tan(\varphi_E) = \frac{R_E}{D - \frac{5}{24}} \],

\[ \frac{R_E}{D - \frac{5}{24}} = \tan(\varphi_E) \],

\[ R_E = (D - \frac{5}{24})\tan(\varphi_E) \].

Итак, отношение линейного радиуса Юпитера к радиусу Земли равно:

\[ \frac{R_J}{R_E} = \frac{D - \frac{5}{24}}{(D - \frac{5}{24})\tan(\varphi_E)} \].

Здесь \(D\) - расстояние от Земли до Юпитера, \(\varphi_E\) - угловой радиус Земли, равный 1,2, а \(\tan(\varphi_E)\) может быть выражено с помощью тригонометрических функций.