Каково отношение линейного радиуса Юпитера к радиусу Земли, если угловой радиус Юпитера равен 1,2, а его горизонтальный

Cikada

40

Для того чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать геометрический подход. По определению, горизонтальный параллакс — это угол, под которым наблюдается объект на фоне далеких звёзд при его съёмке с Земли. Для удобства обозначений, пусть $R_J$ будет линейным радиусом Юпитера, а $R_E$ — радиусом Земли.

Из геометрии известно, что связь между угловым радиусом и линейным радиусом задаётся следующим соотношением:

$$\frac{R_J}{D_J}=\tan ({\phi }_J)$$,

где $D_J$ - расстояние от Земли до Юпитера, а ${\phi }_J$ - угловой радиус Юпитера.

Также для Земли мы получаем аналогичное соотношение:

$$\frac{R_E}{D_E}=\tan ({\phi }_E)$$,

где $D_E$ - расстояние от Земли до объекта непосредственно перед заданным объектом, а ${\phi }_E$ - угловой радиус Земли.

Так как Юпитер и заданный объект лежат на одной горизонтали, то $D_E=D_J$.

Расстояние от Земли до Юпитера, обозначим как $D$. Тогда:

$$D=D_J+D_E$$.

Исходя из тригонометрических соотношений, можем записать:

$$\tan ({\phi }_J)=\frac{R_J}{D_J}=\frac{R_J}{D-D_E}$$, (1)

$$\tan ({\phi }_E)=\frac{R_E}{D_E}$$.

Так как у нас известны значения горизонтального параллакса ${\phi }_J$ и углового радиуса Юпитера, мы можем получить первое уравнение. Подставляя значения, получаем:

$$\tan (1,2)=\frac{R_J}{D-D_E}$$,

$$\frac{1,2}{D-D_E}=\tan (1,2)$$.

Также, известно, что горизонтальный параллакс задаётся формулой:

$${\phi }_J=\frac{p}{D_J}$$,

где $p$ - горизонтальный параллакс, которому соответствует угловой радиус Юпитера, а $D_J$ - расстояние от Земли до Юпитера.

Тогда:

$$D_J=\frac{p}{{\phi }_J}$$.

Подставляя известные значения, получаем:

$$D_J=\frac{0,25}{1,2}$$,

$$D_J=\frac{5}{24}$$.

Таким образом, мы нашли расстояние от Земли до Юпитера. Теперь мы можем выразить $D_E$ через найденное расстояние $D_J$:

$$D_E=D-D_J$$.

Подставляя значения, получаем:

$$D_E=D-\frac{5}{24}$$.

Осталось только подставить полученные значения во второе уравнение и выразить отношение радиусов:

$$\tan ({\phi }_E)=\frac{R_E}{D_E}$$,

$$\tan ({\phi }_E)=\frac{R_E}{D-\frac{5}{24}}$$,

$$\frac{R_E}{D-\frac{5}{24}}=\tan ({\phi }_E)$$,

$$R_E=(D-\frac{5}{24})\tan ({\phi }_E)$$.

Итак, отношение линейного радиуса Юпитера к радиусу Земли равно:

$$\frac{R_J}{R_E}=\frac{D-\frac{5}{24}}{(D-\frac{5}{24})\tan ({\phi }_E)}$$.

Здесь $D$ - расстояние от Земли до Юпитера, ${\phi }_E$ - угловой радиус Земли, равный 1,2, а $\tan ({\phi }_E)$ может быть выражено с помощью тригонометрических функций.