Каково отношение линейных скоростей диска и полого цилиндра одинаковой массы, когда они равномерно катятся

Артём

15

Отношение линейных скоростей диска \(V_{\text{диск}}\) и полого цилиндра \(V_{\text{цилиндр}}\) можно определить, анализируя их кинетическую энергию и массу.

Для начала, давайте рассмотрим кинетическую энергию, которая определяется следующим образом:

\[K = \frac{1}{2}mv^2 \]

где \(K\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса тела, а \(v\) - его скорость.

Мы знаем, что у диска и полого цилиндра одинаковая кинетическая энергия, так как они равномерно катаются без скольжения. Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{1}{2}m_{\text{диск}} V_{\text{диск}}^2 = \frac{1}{2}m_{\text{цилиндр}} V_{\text{цилиндр}}^2 \]

где \(m_{\text{диск}}\) - масса диска, \(m_{\text{цилиндр}}\) - масса цилиндра.

Из этого уравнения мы можем сократить общий множитель \(\frac{1}{2}\) и переписать его в виде:

\[m_{\text{диск}} V_{\text{диск}}^2 = m_{\text{цилиндр}} V_{\text{цилиндр}}^2 \]

Далее, чтобы найти отношение скоростей, давайте поделим это уравнение на \(m_{\text{цилиндр}} V_{\text{цилиндр}}^2\):

\[\frac{m_{\text{диск}} V_{\text{диск}}^2}{m_{\text{цилиндр}} V_{\text{цилиндр}}^2} = 1 \]

Теперь, мы можем сократить массу на обеих сторонах уравнения:

\[\frac{V_{\text{диск}}^2}{V_{\text{цилиндр}}^2} = 1 \]

Из этого уравнения можно вывести следующее:

\[\frac{V_{\text{диск}}}{V_{\text{цилиндр}}} = 1\]

Это означает, что отношение линейных скоростей диска и полого цилиндра с одинаковой массой, равномерно катающихся без скольжения и имеющих одинаковую кинетическую энергию, равно единице.

Таким образом, \(V_{\text{диск}} = V_{\text{цилиндр}}\). Линейные скорости диска и полого цилиндра будут одинаковыми.