Каково отношение площадей треугольников АВС и А1В1С1, если треугольники АВС и А1В1С1 подобны и имеют соотношение сторон

Iskryaschayasya_Feya_2180

51

Чтобы найти отношение площадей треугольников АВС и А1В1С1, мы можем использовать соотношение масштабных коэффициентов исходных треугольников. Дано, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны и имеют следующее соотношение сторон:

\[\frac{AB}{A1B1} = \frac{AC}{A1C1} = \frac{BC}{B1C1}\]

Так как треугольники подобны, то каждая сторона треугольника АВС делится на соответствующую сторону треугольника А1В1С1 в константном соотношении.

Давайте назовем наш масштабный коэффициент \(k\). Тогда:

\[AB = k \cdot A1B1\]
\[AC = k \cdot A1C1\]
\[BC = k \cdot B1C1\]

Также, для площадей треугольников справедливо, что их отношение равно квадрату отношения соответствующих сторон. Обозначим площади треугольников как \(S_{ABC}\) и \(S_{A1B1C1}\). Тогда:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A1B1C1}} = \left(\frac{AB}{A1B1}\right)^2 = \left(\frac{AC}{A1C1}\right)^2 = \left(\frac{BC}{B1C1}\right)^2\]

Подставим значения сторон, выраженные через масштабный коэффициент \(k\):

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A1B1C1}} = \left(\frac{k \cdot A1B1}{A1B1}\right)^2 = \left(\frac{k \cdot A1C1}{A1C1}\right)^2 = \left(\frac{k \cdot B1C1}{B1C1}\right)^2\]

Упростим выражение, убрав повторяющиеся значения \(A1B1\), \(A1C1\) и \(B1C1\):

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A1B1C1}} = k^2\]

То есть, отношение площадей треугольников АВС и А1В1С1 равно квадрату масштабного коэффициента.

Ответ: Отношение площадей треугольников АВС и А1В1С1 равно квадрату масштабного коэффициента подобия треугольников АВС и А1В1С1.