Каково отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара, если высота цилиндра равна 9 блокам

Семён

31

Ок, давайте начнем с построения решения задачи. У нас есть цилиндр и шар, и нам нужно найти отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

Для начала, давайте определим формулу для площади поверхности цилиндра и шара. Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить, используя формулу:

\[ S_{\text{ц}} = 2\pi r_{\text{ц}} h_{\text{ц}}, \]

где \( r_{\text{ц}} \) - радиус основания цилиндра, \( h_{\text{ц}} \) - высота цилиндра.

Площадь поверхности шара можно вычислить следующим образом:

\[ S_{\text{ш}} = 4\pi r_{\text{ш}}^2, \]

где \( r_{\text{ш}} \) - радиус шара.

Теперь нам нужно найти связь между параметрами цилиндра, чтобы выразить один через другой.

По условию задачи, высота цилиндра равна 9 блокам больше диаметра его основания. Если обозначить радиус основания цилиндра как \( r_{\text{ц}} \), то диаметр будет равен \( 2r_{\text{ц}} \). Тогда, по условию:

\[ h_{\text{ц}} = 2r_{\text{ц}} + 9 \].

Теперь у нас есть связь между параметрами цилиндра.

Для нахождения отношения площадей, подставим найденное соотношение в формулы площадей поверхностей цилиндра и шара:

\[ S_{\text{ц}} = 2\pi r_{\text{ц}} (2r_{\text{ц}} + 9), \]
\[ S_{\text{ш}} = 4\pi r_{\text{ш}}^2. \]

Теперь, чтобы найти отношение площадей, разделим площадь боковой поверхности цилиндра на площадь поверхности шара:

\[ \frac{S_{\text{ц}}}{S_{\text{ш}}} = \frac{2\pi r_{\text{ц}} (2r_{\text{ц}}+9)}{4\pi r_{\text{ш}}^2}. \]

В числителе у нас есть произведение, которое можно упростить:

\[ \frac{S_{\text{ц}}}{S_{\text{ш}}} = \frac{\pi r_{\text{ц}} (2r_{\text{ц}}+9)}{2\pi r_{\text{ш}}^2}. \]

Мы заметили, что \(\pi\) сокращается и тогда:

\[ \frac{S_{\text{ц}}}{S_{\text{ш}}} = \frac{r_{\text{ц}} (2r_{\text{ц}}+9)}{2 r_{\text{ш}}^2}. \]

Таким образом, отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно \(\frac{r_{\text{ц}} (2r_{\text{ц}}+9)}{2 r_{\text{ш}}^2}\).

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!