Каково отношение площади параллелограмма, образованного прямыми, проведенными через вершины произвольного

Vasilisa_7283

25

Для решения этой задачи нужно разбить четырехугольник на два параллелограмма и выразить их площади через площадь исходного четырехугольника.

Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD. Нарисуем в нем две прямые, проведенные через противоположные вершины четырехугольника. Пусть точка пересечения этих прямых обозначается как E. Тогда получим два параллелограмма: AEDB и CEDB.

\[
\begin{equation}
\begin{split}
&\frac{\text{{Площадь параллелограмма AEDB}}}{\text{{Площадь четырехугольника ABCD}}} + \frac{\text{{Площадь параллелограмма CEDB}}}{\text{{Площадь четырехугольника ABCD}}} = 1
\end{split}
\end{equation}
\]

Теперь узнаем, как найти площадь параллелограмма AEDB. Если мы посмотрим на АЕ, то заметим, что эта линия параллельна линии CD (проведенной через вершины четырехугольника ABCD), так как они обе перпендикулярны линии BC. Также, поскольку ABED - параллелограмм, то AB = ED. Значит, по теореме о площади параллелограмма, площадь AEDB равна площади произвольного четырехугольника ABCD.

Таким образом, мы можем переписать соотношение (1) следующим образом:

\[
\begin{equation}
\begin{split}
&\frac{\text{{Площадь четырехугольника ABCD}}}{\text{{Площадь четырехугольника ABCD}}} + \frac{\text{{Площадь параллелограмма CEDB}}}{\text{{Площадь четырехугольника ABCD}}} = 1 \\
&1 + \frac{\text{{Площадь параллелограмма CEDB}}}{\text{{Площадь четырехугольника ABCD}}} = 1 \\
&\frac{\text{{Площадь параллелограмма CEDB}}}{\text{{Площадь четырехугольника ABCD}}} = 0
\end{split}
\end{equation}
\]

Отсюда следует, что отношение площади параллелограмма, образованного прямыми, проведенными через вершины произвольного четырехугольника, к площади самого четырехугольника равно 0.

Таким образом, отношение площади параллелограмма, образованного прямыми, проведенными через вершины произвольного четырехугольника, к площади самого четырехугольника равно 0.