Каково отношение потока вектора напряжённости электрического поля через поверхность куба к потоку через поверхность

David

53

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится применить закон Гаусса, который гласит, что поток электрического поля через поверхность, ограничивающую какую-либо область пространства, равен сумме зарядов внутри этой области, деленной на электрическую постоянную.

В данной задаче у нас есть куб, внутри которого распределен заряд, и сфера, вписанная в этот куб. По условию, заряд распределен равномерно по объему. Плотность заряда можно обозначить как \(\rho\).

Чтобы найти отношение потока вектора напряженности электрического поля через поверхность куба к потоку через поверхность сферы, мы должны сначала вычислить эти потоки по отдельности.

1. Поток через поверхность куба:
Так как поле равномерно распределено внутри куба, то вектор напряженности электрического поля будет иметь одинаковое значение на всех поверхностях куба, направленное нормально к этим поверхностям. Обозначим этот вектор как \(\vec{E_k}\). Пусть сторона куба равна \(a\). Тогда площадь любой поверхности куба будет равна \(a^2\). Поток через поверхность куба будет равен произведению величины вектора напряженности на площадь поверхности:

\[
\text{Поток через поверхность куба} = \vec{E_k} \cdot a^2
\]

2. Поток через поверхность сферы:
Так как сфера является вписанной в куб, она будет касаться его граней. Таким образом, поверхность сферы будет касаться всех поверхностей куба. Обозначим вектор напряженности электрического поля на поверхности сферы как \(\vec{E_s}\). Радиус сферы равен половине длины стороны куба, то есть равен \(a/2\). Площадь поверхности сферы можно выразить как \(4\pi r^2\), где \(r\) - радиус сферы. Значение вектора напряженности на этой поверхности будет постоянным и равным \(\vec{E_s}\). Поток через поверхность сферы будет равен произведению величины вектора напряженности на площадь поверхности:

\[
\text{Поток через поверхность сферы} = \vec{E_s} \cdot 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]

Теперь мы можем найти отношение потока вектора напряженности электрического поля через поверхность куба к потоку через поверхность сферы:

\[
\frac{\text{Поток через поверхность куба}}{\text{Поток через поверхность сферы}} = \frac{\vec{E_k} \cdot a^2}{\vec{E_s} \cdot 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

Здесь можно заметить, что величина \(\vec{E_k}\) не зависит от размера куба, а только от плотности заряда. Она будет равна \(\vec{E_k} = \frac{\rho}{3\epsilon_0}\), где \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная.

Подставляя это значение в формулу, получим:

\[
\frac{\text{Поток через поверхность куба}}{\text{Поток через поверхность сферы}} = \frac{\frac{\rho}{3\epsilon_0} \cdot a^2}{\vec{E_s} \cdot 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

Далее, мы можем заметить, что векторы напряженности электрического поля на поверхности сферы и куба между собой связаны величиной заряда внутри этой области и электрической постоянной. Поэтому отношение величин потоков может быть записано следующим образом:

\[
\frac{\text{Поток через поверхность куба}}{\text{Поток через поверхность сферы}} = \frac{\frac{1}{3}\frac{\rho}{\epsilon_0}a^2}{\frac{4}{3}\pi\frac{\rho}{\epsilon_0}\left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

Рассчитывая эту формулу, мы получим окончательный ответ на задачу.

Пояснение:
Данная задача описывает ситуацию, когда у нас есть заряд, равномерно распределенный в объеме внутри куба, вписанного в сферу. Поток напряженности электрического поля через поверхность куба является частью общего потока через поверхность сферы. Такое отношение потоков демонстрирует, как геометрические особенности влияют на потоки напряженности электрического поля. Эта задача позволяет школьнику лучше понять связь между геометрией и электромагнетизмом.