Каково отношение радиусов шара и цилиндра, если их объемы равны, а радиус шара равен 3/5 высоты цилиндра?

Орех

65

Чтобы найти отношение радиусов шара и цилиндра, у нас есть два условия: объемы этих геометрических фигур равны, а радиус шара равен 3/5 высоты цилиндра.

Давайте сначала найдем формулы для объема шара и цилиндра.

Объем шара вычисляется по формуле:
\[V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3,\]
где \(R\) - радиус шара.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
\[V_{цилиндра} = \pi R^2h,\]
где \(R\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

У нас есть условие, что объемы шара и цилиндра равны, то есть \(V_{шара} = V_{цилиндра}\). Подставим формулы и рассмотрим это условие:
\[\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi R^2h.\]

Теперь давайте используем второе условие - радиус шара равен 3/5 высоты цилиндра, то есть \(R = \frac{3}{5}h\). Заменим \(R\) в уравнении:
\[\frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{5}h\right)^3 = \pi \left(\frac{3}{5}h\right)^2h.\]

Сократим и упростим уравнение:
\[\frac{4}{3}\pi \left(\frac{27}{125}h^3\right) = \pi \left(\frac{9}{25}h^2\right)h.\]
\[\frac{108\pi}{125}h^3 = \frac{9\pi}{25}h^3.\]

Теперь сократим обе части уравнения на \(h^3\):
\[\frac{108\pi}{125} = \frac{9\pi}{25}.\]

Для удобства избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 125:
\(108\pi = 9\pi \cdot 5.\)

Теперь сократим на 9\(\pi\):
\(12 = 5.\)

Мы получили противоречие: \(12 \neq 5\).

Из этого следует, что начальное условие, которое гласит, что объемы шара и цилиндра равны, не может быть выполнено, если радиус шара равен 3/5 высоты цилиндра. Таким образом, не существует определенного отношения между радиусами шара и цилиндра, удовлетворяющего этим условиям.