Каково отношение ускорений a1/a2, приобретаемых двумя стеклянными шариками во время столкновения на гладкой

Radio

16

Чтобы решить эту задачу, мы должны рассмотреть законы сохранения импульса и энергии во время столкновения.

Из закона сохранения импульса следует, что сумма импульсов до и после столкновения должна оставаться неизменной. Импульс шарика можно выразить как произведение его массы на скорость. Так как масса шарика связана с его радиусом через плотность, а плотность материала одинакова для обоих шариков, то можно установить, что масса первого шарика в 27 раз меньше массы второго шарика (так как радиус первого шарика в 3 раза меньше радиуса второго, масса будет пропорциональна объему, который кубически пропорционален радиусу).

Пусть \(m_1\) и \(m_2\) - массы первого и второго шариков соответственно, \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости до столкновения, а \(u_1\) и \(u_2\) - их скорости после столкновения. Тогда закон сохранения импульса можно записать в виде:

\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 \]

Теперь рассмотрим закон сохранения энергии. Во время упругого столкновения кинетическая энергия системы должна также сохраняться. Кинетическая энергия шарика определяется как половина произведения его массы на квадрат скорости. Таким образом, закон сохранения энергии можно записать в виде:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot u_2^2 \]

Теперь мы можем решить эти два уравнения, чтобы найти отношение ускорений \( \frac{a_1}{a_2} \).

Сначала выразим скорости \( u_1 \) и \( u_2 \) через \( v_1 \) и \( v_2 \). Используем закон сохранения импульса:

\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 \]

Разделим обе части на \(m_1\):

\[ v_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot v_2 = u_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot u_2 \]

Выразим \(u_1\) через \(v_1\) и \(v_2\):

\[ u_1 = v_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_2 - u_2) \]

Теперь подставим это выражение для \(u_1\) в уравнение сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot (v_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_2 - u_2))^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot u_2^2 \]

Разберемся с выражением в скобках:

\[ (v_1 + \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_2 - u_2))^2 \]

\[ = v_1^2 + 2 \cdot v_1 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_2 - u_2) + (\frac{m_2}{m_1})^2 \cdot (v_2 - u_2)^2 \]

Теперь подставим это выражение в уравнение сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot (v_1^2 + 2 \cdot v_1 \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot (v_2 - u_2) + (\frac{m_2}{m_1})^2 \cdot (v_2 - u_2)^2) + \frac{1}{2} m_2 \cdot u_2^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_1 \cdot (v_2 - u_2) + \frac{1}{2} m_2 \cdot (v_2 - u_2)^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot u_2^2 \]

Выразим \(a_2\) через \(a_1\):

\[ a_2 = \frac{v_1^2 + v_2^2 - u_2^2}{2 \cdot u_2} \]

Теперь найдем \(a_1\):

\[ a_1 = \frac{v_2^2 - u_2^2}{2 \cdot v_1} \]

Теперь мы можем найти отношение ускорений \( \frac{a_1}{a_2} \):

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{v_2^2 - u_2^2}{2 \cdot v_1}}{\frac{v_1^2 + v_2^2 - u_2^2}{2 \cdot u_2}} \]

\[ = \frac{(v_2^2 - u_2^2) \cdot u_2}{(v_1^2 + v_2^2 - u_2^2) \cdot v_1} \]

Теперь остается только подставить значения \(v_1\), \(v_2\), \(u_2\) и рассчитать отношение ускорений. У вас есть значения для скоростей \(v_1\) и \(v_2\) перед столкновением, а \(u_2\) - это также искомая величина.