Каково отношение ускорений a1a2, приобретенных двумя столкнувшимися каменными шариками на гладкой поверхности? Радиус

Svetlyachok

39

Чтобы найти отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\), опытным путём обратимся к закону сохранения импульса. В данной задаче, ускорения шариков связаны с силами, действующими на них, которые в свою очередь связаны с приобретаемыми шариками импульсами.

Мы знаем, что импульс равен произведению массы на скорость. Пусть \(m_1\) и \(m_2\) - массы первого и второго шарика соответственно. Обозначим \(v_1\) и \(v_2\) их скорости перед столкновением, и \(u_1\) и \(u_2\) их скорости после столкновения. Тогда по закону сохранения импульса:

\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1u_1 + m_2u_2\]

Известно, что радиус первого шарика в 3 раза меньше радиуса второго шарика. Масса шарика пропорциональна кубу его радиуса, причем коэффициент пропорциональности одинаковый для обоих шариков. Обозначим этот коэффициент как \(k\). Тогда:

\[m_1 = k \cdot r_1^3\]
\[m_2 = k \cdot r_2^3\]

\[m_1 = k \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r_2\right)^3\]
\[m_1 = \frac{k}{27} \cdot r_2^3\]

Теперь заменим \(m_1\) и \(m_2\) в уравнении сохранения импульса:

\[k \cdot r_1^3 \cdot v_1 + k \cdot r_2^3 \cdot v_2 = \frac{k}{27} \cdot r_2^3 \cdot u_1 + k \cdot r_2^3 \cdot u_2\]

Теперь выразим отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\) через величины \(\frac{v_1}{u_1}\) и \(\frac{v_2}{u_2}\). Ускорение равно изменению скорости за определенное время:

\[a_1 = \frac{u_1 - v_1}{t}\]
\[a_2 = \frac{u_2 - v_2}{t}\]

Где \(t\) - время столкновения, которое одинаково для обоих шариков. Домножим оба уравнения на \(t\) и получим:

\[u_1 - v_1 = a_1 \cdot t\]
\[u_2 - v_2 = a_2 \cdot t\]

Теперь подставим эти соотношения в уравнение сохранения импульса:

\[k \cdot r_1^3 \cdot v_1 + k \cdot r_2^3 \cdot v_2 = \frac{k}{27} \cdot r_2^3 \cdot (v_1 + a_1 \cdot t) + k \cdot r_2^3 \cdot (v_2 + a_2 \cdot t)\]

Упрощая это уравнение:

\[27 \cdot r_1^3 \cdot v_1 + 27 \cdot r_2^3 \cdot v_2 = r_2^3 \cdot (v_1 + a_1 \cdot t) + 27 \cdot r_2^3 \cdot (v_2 + a_2 \cdot t)\]

Раскроем скобки и сгруппируем по \(a_1\) и \(a_2\):

\[27 \cdot r_1^3 \cdot v_1 + 27 \cdot r_2^3 \cdot v_2 = r_2^3 \cdot v_1 + r_2^3 \cdot a_1 \cdot t + 27 \cdot r_2^3 \cdot v_2 + 27 \cdot r_2^3 \cdot a_2 \cdot t\]

\[27 \cdot r_1^3 \cdot v_1 + 27 \cdot r_2^3 \cdot v_2 = (r_2^3 \cdot v_1 + 27 \cdot r_2^3 \cdot v_2) + (r_2^3 \cdot a_1 \cdot t + 27 \cdot r_2^3 \cdot a_2 \cdot t)\]

\[27 \cdot r_1^3 \cdot v_1 = r_2^3 \cdot v_1 + 27 \cdot r_2^3 \cdot v_2 + r_2^3 \cdot a_1 \cdot t + 27 \cdot r_2^3 \cdot a_2 \cdot t\]

Теперь выразим отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\):

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{27 \cdot r_1^3 \cdot v_1 - r_2^3 \cdot v_1 - 27 \cdot r_2^3 \cdot v_2}{r_2^3 \cdot t}\]

В данном случае, ускорения шариков зависят от их скоростей. Так как даны только радиусы шариков, для удобства будем считать, что \(v_1\) и \(v_2\) равны 0. Это предположение позволяет упростить уравнение и найти отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\) только на основе радиусов шариков:

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{27 \cdot r_1^3}{r_2^3}\]

Таким образом, отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\) равно \(\frac{27 \cdot r_1^3}{r_2^3}\). В задаче не указаны конкретные значения радиусов, поэтому необходимо знать радиусы шариков для определения численного значения данного отношения.