Каково отношение в котором отрезки am и bd делятся точкой их пересечения, если основание ad втрапеции abcd в 3 раза

Pushistik

23

Чтобы решить эту задачу и определить отношение, в котором отрезки \(am\) и \(bd\) делятся точкой их пересечения, нам нужно использовать информацию об основании трапеции и точке \(m\), которая делит сторону \(cd\) в определенном отношении.

Итак, давайте разберемся с информацией об основаниях трапеции. Согласно условию задачи, длина основания \(ad\) втрапеции \(abcd\) в 3 раза больше, чем длина основания \(bc\). Давайте обозначим длину \(bc\) как \(x\). Тогда длина \(ad\) будет равна \(3x\).

Теперь обратимся к информации о точке \(m\), которая делит сторону \(cd\) в отношении \(cm:md=1:2\). Давайте представим, что точка \(c\) имеет координату \(0\) на числовой оси, а точка \(d\) имеет координату \(1\). Тогда координата точки \(m\) будет равна \(\frac{1}{3}\), так как отношение \(cm:md=1:2\). Обратите внимание, что мы получили это, используя длину \(cd\), которая равна \(1\) из-за координат \(c\) и \(d\).

Теперь нам нужно найти координату точки \(a\) и точки \(b\). Мы знаем, что точка \(a\) лежит на основании \(ad\) и что точка \(b\) лежит на основании \(bc\). Поскольку длина основания \(ad\) равна \(3x\), а точка \(a\) лежит на отрезке \(cd\), который имеет длину \(1\), мы можем найти координату точки \(a\) как \(\frac{3}{3x}\). Аналогично, координата точки \(b\) будет равна \(\frac{x}{3x}\), так как длина основания \(bc\) равна \(x\).

Теперь у нас есть координаты всех точек: \(a = \frac{3}{3x}\), \(b = \frac{x}{3x}\), \(c = 0\) и \(d = 1\). Давайте теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки \(a\) и \(b\), и найдем точку их пересечения.

Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), может быть найдено с помощью формулы \(y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)\). Подставив координаты точек \(a\) и \(b\) в это уравнение, мы можем найти уравнение прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точки \(a\) и \(b\), будет выглядеть следующим образом:
\[y - \frac{3}{3x} = \frac{\frac{x}{3x} - \frac{3}{3x}}{\frac{x}{3x} - \frac{3}{3x}} \cdot (x - \frac{3}{3x})\]
\[y - \frac{3}{3x} = \frac{\frac{x - 3}{3x}}{\frac{x - 3}{3x}} \cdot x\]
\[y - \frac{3}{3x} = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x}{3x}\]
\[y - \frac{3}{3x} = \frac{x}{3x}\]

Теперь мы можем выразить уравнение прямой через переменную \(y\):
\[y = \frac{x}{3x} + \frac{3}{3x}\]
\[y = \frac{x + 3}{3x}\]

Найдем точку пересечения прямой \(ab\) с прямой \(cd\), подставив \(y\) в уравнение \(y = \frac{x + 3}{3x}\):
\[\frac{x + 3}{3x} = 1\]

Умножим обе части уравнения на \(3x\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[x + 3 = 3x\]

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:
\[0 = 3x - x - 3\]
\[0 = 2x - 3\]
\[2x = 3\]
\[x = \frac{3}{2}\]

Теперь, когда мы получили значение \(x\), мы можем найти координаты точки пересечения \(m\). Подставляем \(x\) обратно в уравнение прямой \(ab\):
\[y = \frac{x + 3}{3x}\]
\[y = \frac{\frac{3}{2} + 3}{3 \cdot \frac{3}{2}}\]
\[y = \frac{\frac{6}{2} + \frac{9}{2}}{\frac{9}{2}}\]
\[y = \frac{\frac{15}{2}}{\frac{9}{2}}\]
\[y = \frac{15}{9}\]
\[y = \frac{5}{3}\]

Таким образом, координаты точки пересечения \(m\) равны \(\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{3}\right)\).

Теперь мы можем найти отношение, в котором отрезки \(am\) и \(bd\) делятся. Для этого нам необходимо вычислить длины отрезков \(am\) и \(bd\).

Длина отрезка \(am\) может быть найдена с использованием расстояния между двумя точками формулой \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\):
\[am = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - \frac{3}{3x}\right)^2 + \left(\frac{5}{3} - \frac{3}{3x}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - \frac{2}{x}\right)^2 + \left(\frac{5}{3} - \frac{1}{x}\right)^2}\]

Длина отрезка \(bd\) может быть найдена аналогичным образом:
\[bd = \sqrt{\left(1 - \frac{x}{3x}\right)^2 + \left(\frac{1}{x} - \frac{3}{3x}\right)^2} = \sqrt{\left(1 - \frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{2}{3}\]

Теперь мы можем найти отношение \(\frac{am}{bd}\):
\[\frac{am}{bd} = \frac{\sqrt{\left(\frac{3}{2} - \frac{2}{x}\right)^2 + \left(\frac{5}{3} - \frac{1}{x}\right)^2}}{\frac{2}{3}}\]

Подставляем значение \(x = \frac{3}{2}\):
\[\frac{am}{bd} = \frac{\sqrt{\left(\frac{3}{2} - \frac{2}{\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(\frac{5}{3} - \frac{1}{\frac{3}{2}}\right)^2}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{\left(\frac{3}{2} - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3} - \frac{2}{3}\right)^2}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{3}{3}\right)^2}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{\frac{1}{36} + \frac{9}{9}}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{4}}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{\frac{5}{36}}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}\]

Итак, отношение \(\frac{am}{bd}\) равно \(\frac{\sqrt{5}}{4}\).

Надеюсь, этот ответ был достаточно подробным и понятным! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!