Каково отношение времен n = t1/t2, при котором вектор скорости частицы, движущейся равномерно прямолинейно в скрещенных

Murka

52

Для решения данной задачи нам понадобятся законы электродинамики и геометрия.

Пусть скорость частицы в начальный момент времени равна \(v_0\), а после выключения магнитного поля она стала равна \(v_1\), а после выключения электрического поля - \(v_2\). Также пусть векторы магнитной и электрической индукции равны соответственно \(B\) и \(E\).

Сила Лоренца, действующая на заряд в магнитном поле, определяется по формуле:
\[F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \theta\],
где \(q\) - заряд частицы, \(v\) - скорость частицы, \(B\) - магнитная индукция, \(\theta\) - угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Эта сила всегда направлена в плоскости, перпендикулярной вектору скорости. Таким образом, чтобы вектор скорости образовал угол \(\alpha\) с первоначальным направлением, сила Лоренца должна быть такой, чтобы поддерживать движение частицы по криволинейной траектории.

Как известно, векторное произведение равно модулю векторного произведения умноженному на синус угла между векторами:
\[|A \times B| = |A|\cdot |B| \cdot \sin \theta\].

Таким образом, сила Лоренца можно записать как:
\[F = q \cdot |v| \cdot |B| = q \cdot |v| \cdot |E| \cdot \sin \alpha.\]

Так как движение частицы равномерное, сила Лоренца равна нулю, и мы можем записать:
\[q \cdot |v_0| \cdot |B| \cdot \sin \theta = q \cdot |v_1| \cdot |E| \cdot \sin \alpha,\]
\[q \cdot |v_0| \cdot |E| = q \cdot |v_2| \cdot |B| \cdot \sin (90 - \alpha) = q \cdot |v_2| \cdot |B| \cdot \cos \alpha.\]

Делим первое уравнение на второе и получаем:
\[\frac{v_0}{v_2} \cdot \frac{E}{B} = \frac{v_1}{v_2} \cdot \tan \alpha.\]

Заметим, что \(\frac{E}{B}\) - отношение величин электрического и магнитного полей, а \(\frac{v_0}{v_2}\) и \(\frac{v_1}{v_2}\) - отношения скоростей частицы перед и после выключения полей соответственно. Обозначим их как \(n = \frac{v_1}{v_2}\) и \(k = \frac{v_0}{v_2}\), соответственно. Тогда получим окончательное выражение для отношения времен:
\[n \cdot \frac{E}{B} = k \cdot \tan \alpha.\]

Таким образом, отношение времен \(n = \frac{t_1}{t_2}\) равно \(k \cdot \tan \alpha / \frac{E}{B}\), где \(k\) - отношение начальной скорости к скорости после выключения полей, \(\alpha\) - угол между вектором скорости и первоначальным направлением, \(E\) - индукция электрического поля, \(B\) - индукция магнитного поля.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении мы не учитываем силу тяжести, так как она была пренебрежимо малой.