Каково отношение высоты столба ртути к высоте столба керосина во г-образном сосуде, наполненном ртутью и керосином

Поющий_Хомяк_7382

69

Для решения данной задачи, нам необходимо применить принцип Архимеда, который гласит: "На каждое тело, погруженное в жидкость или газ, действует архимедова сила, равная весу вытесненной телом жидкости или газа".

Итак, рассмотрим сосуд, наполненный ртутью и керосином. Обозначим через \(h_{\text{рт}}\) высоту столба ртути и через \(h_{\text{кер}}\) высоту столба керосина.

Так как столб ртути и керосина находятся в равновесии, то сила давления ртути на стенку CD равна силе давления керосина на стенку AB (сила давления на стенку равна давлению, умноженному на площадь стенки):

\[P_{\text{рт}} \cdot S_{\text{CD}} = P_{\text{кер}} \cdot S_{\text{AB}}.\]

Где \(P_{\text{рт}}\) и \(P_{\text{кер}}\) - давление, создаваемое ртутью и керосином соответственно, а \(S_{\text{CD}}\) и \(S_{\text{AB}}\) - площади стенок CD и AB сосуда.

Так как сила давления равна весу \(F = m \cdot g\) (где \(m\) - масса, \(g\) - ускорение свободного падения), то давление равно \(P = \frac{F}{S}\).

Плотность определяется как отношение массы к объему, то есть \(\rho = \frac{m}{V}\). Выразим массу через плотность и объем: \(m = \rho \cdot V\).

Подставим выражение для массы в формулу для силы давления:

\[P \cdot S = \rho \cdot V \cdot g.\]

Таким образом, для ртути и керосина справедливы следующие равенства:

\[\begin{align*}
P_{\text{рт}} \cdot S_{\text{CD}} &= \rho_{\text{рт}} \cdot V_{\text{рт}} \cdot g, \\
P_{\text{кер}} \cdot S_{\text{AB}} &= \rho_{\text{кер}} \cdot V_{\text{кер}} \cdot g.
\end{align*}\]

Выразим объем через высоту столба и площадь сечения сосуда:

\(\begin{align*}
V_{\text{рт}} &= S_{\text{CD}} \cdot h_{\text{рт}}, \\
V_{\text{кер}} &= S_{\text{AB}} \cdot h_{\text{кер}}.
\end{align*}\)

Подставим найденные выражения для объема в уравнения давления:

\[\begin{align*}
P_{\text{рт}} \cdot S_{\text{CD}} &= \rho_{\text{рт}} \cdot S_{\text{CD}} \cdot h_{\text{рт}} \cdot g, \\
P_{\text{кер}} \cdot S_{\text{AB}} &= \rho_{\text{кер}} \cdot S_{\text{AB}} \cdot h_{\text{кер}} \cdot g.
\end{align*}\]

Так как площади стенок сосуда равны, \(S_{\text{CD}} = S_{\text{AB}} = S\), упростим уравнения:

\[\begin{align*}
P_{\text{рт}} &= \rho_{\text{рт}} \cdot h_{\text{рт}} \cdot g, \\
P_{\text{кер}} &= \rho_{\text{кер}} \cdot h_{\text{кер}} \cdot g.
\end{align*}\]

Теперь найдем отношение высоты столба ртути к высоте столба керосина:

\[\frac{h_{\text{рт}}}{h_{\text{кер}}} = \frac{P_{\text{рт}}}{P_{\text{кер}}} \cdot \frac{\rho_{\text{кер}}}{\rho_{\text{рт}}}.\]

Подставим известные значения: \(P_{\text{рт}} = 50 \, \text{Н}\), \(P_{\text{кер}} = 10 \, \text{Н}\), \(\rho_{\text{рт}} = 13600 \, \text{кг/м}^3\), \(\rho_{\text{кер}} = 800 \, \text{кг/м}^3\):

\[\frac{h_{\text{рт}}}{h_{\text{кер}}} = \frac{50 \, \text{Н}}{10 \, \text{Н}} \cdot \frac{800 \, \text{кг/м}^3}{13600 \, \text{кг/м}^3}.\]

Вычислим это выражение:

\[\frac{h_{\text{рт}}}{h_{\text{кер}}} = 4 \cdot 10^{-3}.\]

Таким образом, отношение высоты столба ртути к высоте столба керосина составляет 0,004 (до десятых).

Надеюсь, ответ был понятен. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, задайте их!