Каково распределение случайной величины, представляющей число покупок, если в течение часа в магазин заходят

Yazyk

24

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо определить распределение случайной величины, представляющей число покупок. Зная вероятности покупки для каждого покупателя, мы можем использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение используется для моделирования экспериментов с двумя возможными исходами (успехом или неудачей), где каждый эксперимент независим от предыдущих и имеет постоянную вероятность успеха.

В нашем случае, каждый покупатель может совершить покупку (успех) или не совершить (неудача). Пусть Х будет случайной величиной, представляющей число покупок за час. Вероятность успеха для первого покупателя равна 0,6, для второго - 0,7 и для третьего - 0,8.

Чтобы найти распределение числа покупок, нам нужно определить вероятности каждого возможного значения. В данном случае, возможные значения Х - это 0, 1, 2 или 3, так как покупатель может не совершить ни одной покупки, одну покупку, две покупки или все три покупки.

Вероятность, что Х примет конкретное значение, может быть вычислена с помощью следующей формулы:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k (формула для нахождения числа сочетаний), p - вероятность для успеха, q - вероятность для неудачи, n - общее количество покупателей.

Теперь распределение числа покупок:

\[P(X = 0) = C_3^0 \cdot 0.6^0 \cdot 0.4^3\]
\[P(X = 1) = C_3^1 \cdot 0.6^1 \cdot 0.4^2\]
\[P(X = 2) = C_3^2 \cdot 0.6^2 \cdot 0.4^1\]
\[P(X = 3) = C_3^3 \cdot 0.6^3 \cdot 0.4^0\]

Теперь вычислим значения вероятностей:

\[P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.064 = 0.064\]
\[P(X = 1) = 3 \cdot 0.6 \cdot 0.16 = 0.288\]
\[P(X = 2) = 3 \cdot 0.36 \cdot 0.4 = 0.432\]
\[P(X = 3) = 1 \cdot 0.216 \cdot 1 = 0.216\]

Получили распределение вероятностей для числа покупок:

\[P(X = 0) = 0.064\]
\[P(X = 1) = 0.288\]
\[P(X = 2) = 0.432\]
\[P(X = 3) = 0.216\]

Теперь построим графическое представление этой случайной величины.

Полигон распределения представляет собой график, на котором по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, аналогично по оси ординат откладываются значения вероятностей.

Функция распределения представляет собой график, на котором по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат - значения вероятностей для каждого значения случайной величины и всех предшествующих значениях.

Таким образом, построив полигон распределения и функцию распределения для данной задачи, мы получим следующий график: