Каково расстояние между данной точкой и поверхностью сферы, если дана сфера, ее касательная плоскость и угол между этой

Vaska

5

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим следующие шаги:

Шаг 1: Постановка задачи
У нас есть сфера с центром \(O\) и радиусом \(r\), заданная касательной плоскостью, проходящей через точку \(P\). Также у нас есть прямая, проходящая через точку \(P\) и центр сферы \(O\), и между этой прямой и плоскостью задан угол \(60°\). Мы должны найти расстояние между точкой \(P\) и поверхностью сферы.

Шаг 2: Схематическое представление
Чтобы лучше понять задачу, нарисуем схему. На схеме будем обозначать центр сферы \(O\), точку \(P\), радиус сферы \(r\), прямую, проходящую через \(P\) и \(O\), и угол \(60°\) между этой прямой и касательной плоскостью.

______
/ \
/ \
O \
\ \
\ __\____P
\______/

Шаг 3: Поиск треугольника
Из схемы, мы видим, что у нас образуется треугольник \(OPP"\), где \(P"\) - это точка пересечения касательной плоскости и сферы. Поскольку \(OP\) является радиусом сферы, а \(PP"\) - это расстояние, которое мы хотим найти, нам нужно найти длину стороны \(OP\).

Шаг 4: Используем геометрические свойства
Из геометрии, мы знаем, что радиус сферы перпендикулярен к её поверхности в точке пересечения. Поскольку треугольник \(OPP"\) обладает углом 90° между \(OP\) и \(PP"\), мы знаем, что треугольник \(OPP"\) - прямоугольный треугольник.

Шаг 5: Применение тригонометрических соотношений
Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения стороны \(OP\). Мы знаем, что \(\sin(60°) = \frac{PP"}{OP}\).

Шаг 6: Решение уравнения
Давайте рассчитаем значение \(\sin(60°)\). Зная, что \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем записать уравнение:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{PP"}{r}\)

Шаг 7: Нахождение \(PP"\)
Для нахождения \(PP"\), умножим обе части уравнения на \(r\):

\(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r = PP"\)

Шаг 8: Округление ответа
Для округления ответа до сотых долей, вычислим числовое значение \(PP"\):

\(PP" \approx 0.866 \cdot r\)

Таким образом, расстояние между точкой \(P\) и поверхностью сферы составляет примерно \(0.866\) радиуса сферы \(r\) или округленно \(0.87\) в заданной единице измерения.