Каково расстояние между прямыми cd и a1d1 в прямоугольном параллелепипеде, в котором стороны ab, bc и db1 равны

Pechenye

55

Чтобы найти расстояние между прямыми cd и a1d1 в заданном прямоугольном параллелепипеде, мы можем использовать формулу расстояния между двумя параллельными плоскостями.

Первым шагом нам нужно найти вектор нормали (то есть нормального вектора) для каждой из прямых cd и a1d1.

Для прямой cd, нам даны точки c и d, поэтому мы можем найти вектор нормали, используя их координаты. Пусть точки c и d имеют координаты \(c(x_c, y_c, z_c)\) и \(d(x_d, y_d, z_d)\) соответственно. В этом случае, вектор нормали для прямой cd будет равен \(\overrightarrow{cd} = (x_d - x_c, y_d - y_c, z_d - z_c)\).

Для прямой a1d1, нам также даны точки a1 и d1 с координатами \(a1(x_{a1}, y_{a1}, z_{a1})\) и \(d1(x_{d1}, y_{d1}, z_{d1})\). Вектор нормали для прямой a1d1 равен \(\overrightarrow{a1d1} = (x_{d1} - x_{a1}, y_{d1} - y_{a1}, z_{d1} - z_{a1})\).

Теперь мы будем использовать формулу расстояния между двумя параллельными плоскостями, которая гласит:

\[distance = \frac{{|d \cdot \overrightarrow{a1d1} - a1 \cdot \overrightarrow{a1d1}|}}{{\|\overrightarrow{a1d1}\|}}\]

где d - координаты любой точки на прямой cd, а a1 - координаты любой точки на прямой a1d1.

Теперь давайте подставим значения и вычислим расстояние.

Используя данную задачу и значения длин сторон ab, bc и db1, нам известны следующие координаты:

c: \(c(0, 0, 0)\) (так как является началом координат)

d: \(d(0, 3, 7\sqrt{2})\) (используем значения из задачи)

a1: \(a1(5, 0, 0)\) (так как ab = 5 и точка a1 лежит на стороне ab)

d1: \(d1(5, 3, 7\sqrt{2})\) (используем значения из задачи)

Теперь вычислим вектор нормали для прямой cd:

\(\overrightarrow{cd} = (0 - 0, 3 - 0, 7\sqrt{2} - 0) = (0, 3, 7\sqrt{2})\)

Также, вычислим вектор нормали для прямой a1d1:

\(\overrightarrow{a1d1} = (5 - 5, 3 - 0, 7\sqrt{2} - 0) = (0, 3, 7\sqrt{2})\)

Теперь мы можем вычислить расстояние, используя формулу:

\[distance = \frac{{|d \cdot \overrightarrow{a1d1} - a1 \cdot \overrightarrow{a1d1}|}}{{\|\overrightarrow{a1d1}\|}}\]

Подставим значения:

\[distance = \frac{{| (0, 3, 7\sqrt{2}) \cdot (0, 3, 7\sqrt{2}) - (5, 0, 0) \cdot (0, 3, 7\sqrt{2}) |}}{{\|(0, 3, 7\sqrt{2})\|}}\]

Давайте продолжим вычисление расстояния.