Найти два смежных угла, согласно которым треть одного угла и три пятых другого угла в сумме дают прямой угол
Найти два смежных угла, согласно которым треть одного угла и три пятых другого угла в сумме дают прямой угол.
София 60
Данная задача связана с вычислением смежных углов на основе информации о их сумме или разности. Давайте решим ее пошагово, чтобы все было максимально понятно и обосновано.Пусть один из смежных углов будет обозначен как \(x\), а второй угол - \(y\).
У нас есть два условия:
1) Треть одного угла и три пятых другого угла в сумме дают прямой угол.
Из этого условия мы можем составить следующее уравнение:
\[\frac{1}{3}x + \frac{3}{5}y = 90^\circ \quad (1)\]
2) Углы \(x\) и \(y\) являются смежными.
Смежные углы - это пара углов, у которых вершина и одна сторона совпадают, и они расположены на противоположных сторонах этой общей стороны. Таким образом, сумма смежных углов всегда равна \(180^\circ\).
Из этого условия мы можем составить следующее уравнение:
\[x + y = 180^\circ \quad (2)\]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2), которую мы можем решить для нахождения значений углов \(x\) и \(y\).
Давайте решим ее:
Сначала перейдем к общему знаменателю в уравнении (1):
\[\frac{1}{3}x + \frac{3}{5}y = 90^\circ\]
Умножим все члены уравнения на 15, чтобы избавиться от дробей:
\[5x + 9y = 1350^\circ \quad (3)\]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[\begin{cases}
x + y = 180^\circ \\
5x + 9y = 1350^\circ
\end{cases}\]
Мы решим эту систему с помощью метода подстановки.
Из первого уравнения мы можем выразить \(x\):
\[x = 180^\circ - y\]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[5(180^\circ - y) + 9y = 1350^\circ\]
Распределение и упрощение:
\[900^\circ - 5y + 9y = 1350^\circ\]
\[4y = 450^\circ\]
\[y = \frac{450^\circ}{4}\]
\[y = 112.5^\circ\]
Теперь, чтобы найти значение угла \(x\), мы можем подставить найденное значение \(y\) в первое уравнение:
\[x + 112.5^\circ = 180^\circ\]
\[x = 180^\circ - 112.5^\circ\]
\[x = 67.5^\circ\]
Таким образом, два смежных угла, при которых треть одного угла и три пятых другого угла в сумме дают прямой угол, равны \(67.5^\circ\) и \(112.5^\circ\).