Каково расстояние между средними точками отрезков AB1 и BC1 в кубе ABCD A1B1C1D1 с ребром 2? Предоставьте решение

Сергей

48

Для начала давайте нарисуем куб ABCD A1B1C1D1 с ребром 2, чтобы было проще представить себе ситуацию.

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{A}} & - & \text{{-}} & \text{{-}} & \text{{-}} & \text{{-}} & \text{{B}} \\
| & & | & & & | \\
| & & | & & & | \\
| & & | & & & | \\
\text{{D}} & - & - & - & \text{{-}} & - & \text{{C}} \\
\end{{array}}
\]

Теперь, чтобы найти расстояние между средними точками отрезков AB1 и BC1, нам нужно сначала найти координаты этих точек. Давайте это сделаем шаг за шагом.

1. Найдем среднюю точку отрезка AB1. Для этого мы должны взять среднее значение по каждой координате. Так как A находится в точке (0, 0, 0), а B1 находится в точке (2, 0, 0), мы можем найти среднюю точку AB1, взяв среднее арифметическое каждой координаты:

\[
\text{{Средняя точка AB1}} = \left(\frac{{0 + 2}}{{2}}, \frac{{0 + 0}}{{2}}, \frac{{0 + 0}}{{2}}\right) = (1, 0, 0)
\]

2. Найдем среднюю точку отрезка BC1. Для этого мы должны взять среднее значение по каждой координате. Так как B находится в точке (2, 0, 0), а C1 находится в точке (2, 2, 0), мы можем найти среднюю точку BC1, взяв среднее арифметическое каждой координаты:

\[
\text{{Средняя точка BC1}} = \left(\frac{{2 + 2}}{{2}}, \frac{{0 + 2}}{{2}}, \frac{{0 + 0}}{{2}}\right) = (2, 1, 0)
\]

Теперь мы знаем координаты средних точек отрезков AB1 и BC1, осталось найти расстояние между ними. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}
\]

где \((x_1, y_1, z_1)\) - координаты первой точки, а \((x_2, y_2, z_2)\) - координаты второй точки.

Применяя эту формулу к нашему случаю, мы получаем:

\[
d = \sqrt{{(2 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2}}
\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[
d = \sqrt{{1 + 1 + 0}} = \sqrt{{2}}
\]

Итак, расстояние между средними точками отрезков AB1 и BC1 в кубе ABCD A1B1C1D1 с ребром 2 равно \(\sqrt{2}\).