Какова площадь меньшего подобного треугольника, если его площадь на 45 см2 меньше площади большего треугольника?

Vitaliy

33

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется знание о площади подобных фигур.

Пусть больший треугольник имеет площадь \(S_1\), а меньший треугольник имеет площадь \(S_2\). Мы знаем, что площадь меньшего треугольника на 45 см² меньше площади большего треугольника, т.е. \(S_2 = S_1 - 45\).

Так как треугольники подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон. Пусть стороны большего треугольника равны \(a_1\), \(b_1\) и \(c_1\), а стороны меньшего треугольника равны \(a_2\), \(b_2\) и \(c_2\). Тогда мы можем написать следующие соотношения:

\[\frac{{S_1}}{{S_2}} = \left(\frac{{a_1}}{{a_2}}\right)^2 = \left(\frac{{b_1}}{{b_2}}\right)^2 = \left(\frac{{c_1}}{{c_2}}\right)^2\]

Так как мы ищем площадь меньшего треугольника, нам нужно найти \(S_2\). Ранее мы выразили \(S_2\) через \(S_1\), поэтому мы можем решить уравнение относительно \(S_1\):

\[\frac{{S_1}}{{S_1-45}} = \left(\frac{{a_1}}{{a_2}}\right)^2\]

Теперь заметим, что длины сторон треугольников измеряются в сантиметрах. Поскольку в данной задаче речь идет о площади, то ответ будет выражаться в квадратных сантиметрах.

Мы можем решить уравнение для \(S_1\), используя данную информацию. Например, если известны длины сторон \(a_1 = 3\) см и \(a_2 = 2\) см, то мы можем записать:

\[\frac{{S_1}}{{S_1-45}} = \left(\frac{{3}}{{2}}\right)^2\]

Перепишем уравнение в следующей форме:

\[S_1 = \left(\frac{{3}}{{2}}\right)^2 \cdot (S_1-45)\]

Раскроем скобки:

\[S_1 = \frac{{9}}{{4}} \cdot (S_1-45)\]

Перенесем все члены с \(S_1\) на одну сторону уравнения:

\[S_1 - \frac{{9}}{{4}} \cdot S_1 = -\frac{{9}}{{4}} \cdot 45\]

Упростим:

\[-\frac{{5}}{{4}} \cdot S_1 = -\frac{{45}}{{4}} \cdot 9\]

Разделим обе части уравнения на \(-\frac{{5}}{{4}}\):

\[S_1 = \frac{{45}}{{5}} \cdot 9\]

Выполняем вычисления:

\[S_1 = 9 \cdot 9 = 81\]

Таким образом, площадь большего треугольника равна 81 квадратным сантиметру. Площадь меньшего треугольника, как мы ранее выяснили, будет равна \(S_2 = S_1 - 45 = 81 - 45 = 36\) квадратным сантиметрам.