Какова площадь меньшего подобного треугольника, если его площадь на 45 см2 меньше площади большего треугольника?

Vitaliy

33

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется знание о площади подобных фигур.

Пусть больший треугольник имеет площадь $S_1$, а меньший треугольник имеет площадь $S_2$. Мы знаем, что площадь меньшего треугольника на 45 см² меньше площади большего треугольника, т.е. $S_2=S_1-45$.

Так как треугольники подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон. Пусть стороны большего треугольника равны $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а стороны меньшего треугольника равны $a_2$, $b_2$ и $c_2$. Тогда мы можем написать следующие соотношения:

$$\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2={\left(\frac{b_1}{b_2}\right)}^2={\left(\frac{c_1}{c_2}\right)}^2$$

Так как мы ищем площадь меньшего треугольника, нам нужно найти $S_2$. Ранее мы выразили $S_2$ через $S_1$, поэтому мы можем решить уравнение относительно $S_1$:

$$\frac{S_1}{S_1-45}={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2$$

Теперь заметим, что длины сторон треугольников измеряются в сантиметрах. Поскольку в данной задаче речь идет о площади, то ответ будет выражаться в квадратных сантиметрах.

Мы можем решить уравнение для $S_1$, используя данную информацию. Например, если известны длины сторон $a_1=3$ см и $a_2=2$ см, то мы можем записать:

$$\frac{S_1}{S_1-45}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2$$

Перепишем уравнение в следующей форме:

$$S_1={\left(\frac{3}{2}\right)}^2\cdot (S_1-45)$$

Раскроем скобки:

$$S_1=\frac{9}{4}\cdot (S_1-45)$$

Перенесем все члены с $S_1$ на одну сторону уравнения:

$$S_1-\frac{9}{4}\cdot S_1=-\frac{9}{4}\cdot 45$$

Упростим:

$$-\frac{5}{4}\cdot S_1=-\frac{45}{4}\cdot 9$$

Разделим обе части уравнения на $-\frac{5}{4}$:

$$S_1=\frac{45}{5}\cdot 9$$

Выполняем вычисления:

$$S_1=9\cdot 9=81$$

Таким образом, площадь большего треугольника равна 81 квадратным сантиметру. Площадь меньшего треугольника, как мы ранее выяснили, будет равна $S_2=S_1-45=81-45=36$ квадратным сантиметрам.