Каково расстояние между точкой A(1, -2, 3) и плоскостью координат: а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz?

Letuchiy_Demon_6066

39

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить расстояние от точки A до трех плоскостей координат: Oxy, Oxz и Oyz.

а) Расстояние от точки A до плоскости Oxy можно найти, проецируя эту точку на плоскость Oxy. Плоскость Oxy представляет собой плоскость, где координата z равна 0. Таким образом, чтобы проецировать точку A на эту плоскость, нам нужно заменить координату z на 0. То есть, точка A" на плоскости Oxy будет иметь координаты (1, -2, 0). Теперь для определения расстояния между точкой A и плоскостью Oxy, нам нужно найти расстояние между точкой A и проекцией A" на плоскость Oxy. Это можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставив координаты точек A и A" в эту формулу, мы получаем:

\[d = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-2 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]

Таким образом, расстояние между точкой A и плоскостью Oxy составляет 5.

б) Расстояние от точки A до плоскости Oxz можно найти, проецируя эту точку на плоскость Oxz. Плоскость Oxz представляет собой плоскость, где координата y равна 0. По аналогии с предыдущим решением, для проецирования точки A на плоскость Oxz мы заменяем координату y на 0. То есть, точка A"" на плоскости Oxz будет иметь координаты (1, 0, 3). Затем мы снова используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставив координаты точек A и A"" в эту формулу, мы получаем:

\[d = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-2 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{0 + 4 + 0} = \sqrt{4} = 2\]

Таким образом, расстояние между точкой A и плоскостью Oxz составляет 2.

в) Расстояние от точки A до плоскости Oyz можно найти, проецируя эту точку на плоскость Oyz. Плоскость Oyz представляет собой плоскость, где координата x равна 0. Опять же, подставив координаты точек A и A""" в формулу расстояния между точками в трехмерном пространстве, мы получаем:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставив координаты точек A и A""" в эту формулу, мы получаем:

\[d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}\]

Таким образом, расстояние между точкой A и плоскостью Oyz составляет \(\sqrt{5}\).