Каково расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x-2y+1=0 и x+3y-7=0

Валерия

23

Для решения этой задачи, нам понадобится найти уравнение прямой, перпендикулярной первой прямой, а затем расстояние от начала координат до этой прямой.

1. Найдем угловой коэффициент первой прямой.
Уравнение прямой имеет вид \(Ax + By + C = 0\), где A, B и C - коэффициенты, определяющие положение прямой.
Уравнение 3x - 2y + 1 = 0 можно переписать в виде \(y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\).
Таким образом, угловой коэффициент первой прямой равен \(\frac{3}{2}\).

2. Найдем угловой коэффициент второй прямой, перпендикулярной первой.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет противоположным обратным значением.
Поэтому, угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен \(-\frac{2}{3}\).

3. Найдем точку пересечения двух прямых.
Для этого решим систему уравнений 3x - 2y + 1 = 0 и x + 3y - 7 = 0.
Решение этой системы даст нам координаты точки пересечения прямых.

Сначала решим второе уравнение относительно x: \(x = 7 - 3y\).
Подставим это значение x в первое уравнение:
\(3(7 - 3y) - 2y + 1 = 0\)
\(21 - 9y - 2y + 1 = 0\)
\(-11y + 22 = 0\)
\(-11y = -22\)
\(y = 2\)

Теперь найдем значение x, подставив y = 2 в уравнение x = 7 - 3y:
\(x = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1\)

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты (1, 2).

4. Теперь у нас есть уравнение перпендикулярной прямой и координаты точки пересечения.
Уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку (1, 2), можно записать в виде \(y = -\frac{2}{3}x + b\).
Найдем значение b, подставив координаты (1, 2):
\(2 = -\frac{2}{3}(1) + b\)
\(2 = -\frac{2}{3} + b\)
\(b = \frac{8}{3}\)

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой имеет вид \(y = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3}\).

5. Найдем расстояние от начала координат до этой прямой.
Расстояние между точкой (0, 0) и произвольной точкой (x, y) на прямой равно длине вектора \((x, y)\).
Подставим уравнение прямой и координаты начала координат в формулу расстояния:
\[d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}\]

Таким образом, расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точку пересечения прямых и перпендикулярной первой прямой, равно \(\frac{8}{3}\).