Каково расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, если высота цилиндра составляет 20 ед. изм., а плоскость

Смешарик_3038

22

У нас есть цилиндр с высотой 20 единиц и плоскостью, параллельной его оси, которая отсекает дугу в 60° и имеет площадь сечения, равную 600 квадратным единицам. Нам нужно найти расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся геометрией цилиндра. Площадь плоскости сечения цилиндра можно выразить через радиус основания и угол дуги:

\[A = \frac{1}{2}r^2\theta \]

где \(A\) - площадь сечения, \(r\) - радиус цилиндра и \(\theta\) - угол дуги в радианах.

Из условия задачи известно, что площадь сечения равна 600 квадратным единицам:

\[ 600 = \frac{1}{2}r^2\theta \]

Также известно, что угол дуги составляет 60°, что равно \(\frac{\pi}{3}\) радианам. На данном этапе у нас есть уравнение:

\[ 600 = \frac{1}{2}r^2\frac{\pi}{3} \]

Чтобы найти радиус цилиндра, возьмем это уравнение и решим его относительно \(r\):

\[ r^2 = \frac{600 \cdot 2}{\frac{\pi}{3}} \]

\[ r^2 = \frac{1200 \cdot 3}{\pi} \]

\[ r^2 = \frac{3600}{\pi} \]

\[ r = \sqrt{\frac{3600}{\pi}} \]

Теперь у нас есть радиус цилиндра. Чтобы найти расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, нам нужно найти разность между радиусом цилиндра и расстоянием от центра окружности до плоскости сечения.

Поскольку плоскость сечения отсекает дугу в 60°, расстояние от центра окружности до плоскости сечения будет составлять:

\[ d = r \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \]

где \( d \) - расстояние, \( r \) - радиус цилиндра, а \( \theta \) - угол дуги.

Подставив значения в формулу:

\[ d = \sqrt{\frac{3600}{\pi}} \cos \left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) \]

\[ d = \sqrt{\frac{3600}{\pi}} \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \]

\[ d = \sqrt{\frac{3600}{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ d = \frac{30 \sqrt{3}}{\sqrt{\pi}} \]

Таким образом, расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения составляет \( \frac{30 \sqrt{3}}{\sqrt{\pi}} \) единиц.