Каково расстояние от точки D1 до прямой KN в единичном кубе ABCDA1B1C1D1? (K и N - середины ребер A1B1

Пчелка

31

Чтобы найти расстояние от точки D1 до прямой KN в единичном кубе ABCDA1B1C1, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве. Для расчета расстояния нам потребуется знать координаты точки и уравнение прямой.

В данном случае, чтобы найти координаты точки D1, мы можем взять две тройки, образующие одну из сторон куба. Допустим, выберем тройки A1=(1, 0, 0) и B1=(0, 1, 0). Тогда координаты точки D1 будут D1=(1, 1, 0).

Уравнение прямой KN можно найти, используя точки K и N. Координаты точки K - середина ребра A1B1 - равны K=((1+0)/2, (0+1)/2, (0+0)/2) = (0.5, 0.5, 0). Координаты точки N - середина ребра BC - равны N=((0+0)/2, (1+1)/2, (0+1)/2) = (0, 1, 0.5).

Теперь, имея координаты точки D1 и уравнение прямой KN, мы можем найти расстояние между ними. Для этого воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до прямой:

\[d = \frac{{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}}{{\sqrt{{a^2 + b^2 + c^2}}}}\]

где (x0, y0, z0) - координаты точки D1, а уравнение прямой имеет вид ax + by + cz + d = 0.

В данном случае, уравнение прямой KN в общем виде будет иметь вид:

\[KN: (y-0.5) = 0 - 2(x-0.5) + 0.5 - 0.5\]

Упростим это выражение:

\[KN: y = -2x + 1\]

Теперь подставим координаты точки D1 и уравнение прямой KN в формулу для нахождения расстояния:

\[d = \frac{{|-2(1) + 1|}}{{\sqrt{{(-2)^2 + 1^2}}}}\]

Выполняем вычисления:

\[d = \frac{{|-2 + 1|}}{{\sqrt{4+1}}}\]
\[d = \frac{1}{\sqrt{5}}\]

Таким образом, расстояние от точки D1 до прямой KN в единичном кубе ABCDA1B1C1 равно \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) или приближенно 0.447.