Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 6 см и 3 см, а угол между ними составляет 120 градусов?

Zvezdnyy_Lis

45

\[6\sqrt{7}\] см.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему косинусов. В параллелограмме, диагональ является стороной треугольника, поэтому мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC, где АВ - это диагональ DC.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

Где:
c - длина стороны, которую мы ищем (AC в данном случае),
a и b - длины известных сторон (стороны параллелограмма),
C - угол между известными сторонами (в нашем случае 120 градусов).

Мы знаем, что стороны параллелограмма равны 6 см и 3 см, поэтому мы можем подставить эти значения в формулу:

\[AC^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)\]

Рассчитаем перед последним шагом:

\[\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\]

Теперь мы можем продолжить вычисления:

\[AC^2 = 36 + 9 + 36 = 81\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получаем:

\[AC = \sqrt{81} = 9\] (используя положительное значение, так как длина не может быть отрицательной)

Таким образом, длина диагонали AC параллелограмма равна 9 см.

Аналогичным образом, мы можем найти длину диагонали BD, используя теорему косинусов для треугольника ABD:

\[BD^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)\]

Мы уже знаем значение \(\cos(120^\circ)\), поэтому:

\[BD^2 = 81\]

\[BD = \sqrt{81} = 9\]

Таким образом, длина диагонали BD параллелограмма также равна 9 см.