Каково расстояние от точки F до вершин квадрата ABCD, если длина стороны квадрата равна √2 см и диагонали пересекаются

Ласка

14

Чтобы найти расстояние от точки F до вершин квадрата ABCD, нам сначала необходимо разобраться во внутренней структуре квадрата и использовать полученные знания для построения решения.

Для начала, проведем диагонали в квадрате ABCD, образуя точку пересечения O. Так как FO перпендикулярно плоскости, в которой находится квадрат, можно заключить, что О – это центр квадрата ABCD.

Теперь, рассмотрим треугольник FOD, где OD – это диагональ квадрата. Мы знаем, что длина стороны квадрата равна \(\sqrt{2}\) см, поэтому длина диагонали OD также равна \(\sqrt{2}\) см.

Так как FO перпендикулярно (ABCD) и OD – это диагональ квадрата, то мы можем заключить, что треугольник FOD – это прямоугольный треугольник. Следовательно, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка FD.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применяя эту теорему к треугольнику FOD, мы получаем следующее уравнение:

\(\overline{DO}^2 = \overline{OF}^2 + \overline{FD}^2\)

Подставляя известные значения, получаем:

\((\sqrt{2})^2 = \overline{OF}^2 + \overline{FD}^2\)

Упрощая, получаем:

\(2 = \overline{OF}^2 + \overline{FD}^2\)

Мы ищем расстояние от точки F до вершин квадрата ABCD, поэтому интересует только отрезок FD. Поэтому мы можем записать \(\overline{FD}\) как \(x\).

Уравнение принимает вид:

\(2 = \overline{OF}^2 + x^2\)

Теперь, чтобы найти длину отрезка OF, нам нужно обратиться к свойствам квадрата ABCD.

Точка О является центром квадрата, поэтому отрезки FО, ОА и ОD равны между собой. Каждая из этих длин равна половине длины диагонали OD.

Так как длина диагонали OD равна \(\sqrt{2}\) см, длина отрезка OF равна \(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) см.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение:

\(2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + x^2\)

Упрощая, получаем:

\(2 = \frac{2}{4} + x^2\)

\(\frac{1}{2} = x^2\)

Для нахождения x необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

\(\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{x^2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}} = x\)

Таким образом, расстояние от точки F до вершин квадрата ABCD составляет \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) см. Если необходимо, можно упростить это значение, умножив и числитель, и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) см.

Таким образом, расстояние от точки F до вершин квадрата ABCD составляет \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) см.