Каково расстояние от точки m с координатами (7; 9; 7) до прямой, заданной уравнением x - 2/4 = y - 1/3 = z/2?

Вечный_Мороз

16

Чтобы найти расстояние от точки \( m \) до прямой, заданной уравнением \( x - \frac{2}{4} = y - \frac{1}{3} = \frac{z}{2} \), мы можем воспользоваться формулой для нахождения расстояния от точки до прямой. Для этого нам понадобится знать координаты точки \( m \) и координаты двух различных точек на прямой.

Для начала, мы можем преобразовать уравнение прямой в параметрическую форму. Заметим, что уравнение можно представить в виде:

\[
x - \frac{2}{4} = y - \frac{1}{3} = \frac{z}{2}
\]

Мы можем представить \( x \), \( y \) и \( z \) в виде функций от параметра \( t \):

\[
x = t + \frac{2}{4}, \quad y = t + \frac{1}{3}, \quad z = 2t
\]

Теперь мы можем выбрать две различные точки на прямой, подставить их координаты в формулу расстояния и найти расстояние от точки \( m \) до прямой. Допустим, мы выберем две точки \( A \) и \( B \) на прямой с параметрами \( t_1 \) и \( t_2 \) соответственно.

Точка \( A \) имеет координаты:

\[
x_1 = t_1 + \frac{2}{4}, \quad y_1 = t_1 + \frac{1}{3}, \quad z_1 = 2t_1
\]

Точка \( B \) имеет координаты:

\[
x_2 = t_2 + \frac{2}{4}, \quad y_2 = t_2 + \frac{1}{3}, \quad z_2 = 2t_2
\]

Теперь мы можем применить формулу для нахождения расстояния от точки до прямой. Формула для расстояния от точки \( m \) с координатами \( (x_0, y_0, z_0) \) до прямой с параметрическими координатами \( (x, y, z) \) выглядит следующим образом:

\[
d = \frac{|(x - x_0, y - y_0, z - z_0) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}
\]

где \( \vec{n} \) - это нормальный вектор прямой, который можно получить, взяв коэффициенты перед \( x \), \( y \) и \( z \) в уравнении прямой.

Итак, у нас есть параметрические координаты для точки \( A \) и \( B \):

Точка \( A \):
\( (x_1, y_1, z_1) = \left(t_1 + \frac{2}{4}, t_1 + \frac{1}{3}, 2t_1\right) \)

Точка \( B \):
\( (x_2, y_2, z_2) = \left(t_2 + \frac{2}{4}, t_2 + \frac{1}{3}, 2t_2\right) \)

Нормальный вектор \( \vec{n} \) для уравнения прямой можно получить из коэффициентов перед \( x \), \( y \) и \( z \) в уравнении:

\( \vec{n} = (1, 1, 2) \)

Теперь мы можем поставить все в формулу расстояния и решить задачу. Найдем расстояние от точки \( m \) с координатами \( (7, 9, 7) \) до прямой:

\[
d = \frac{|((t_1 + \frac{2}{4}) - 7, (t_1 + \frac{1}{3}) - 9, 2t_1 - 7) \cdot (1, 1, 2)|}{|(1, 1, 2)|}
\]

Теперь, чтобы узнать, на какой точке прямой достигается минимальное расстояние, мы избавимся от параметра \( t_1 \) и возьмем производную расстояния \( d \) по \( t_1 \), приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение. Полученное значение \( t_1 \) мы подставим в формулу расстояния и найдем минимальное расстояние от точки \( m \) до прямой. Удачи!