Как можно доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, если биссектрисы противоположных углов

Якобин

44

Для доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом, если биссектрисы противоположных углов параллельны друг другу, можно использовать следующее рассуждение.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, а также известно, что биссектрисы углов A и C параллельны биссектрисам углов B и D. Давайте рассмотрим угол DAB и его биссектрису.

1. Биссектриса угла DAB делит этот угол на две равные части. Обозначим точку пересечения этой биссектрисы с противоположной стороной (BC) как точку E.
\[DAE = EAB\]

2. Рассмотрим угол DAE. Поскольку биссектриса угла DAB параллельна биссектрисе угла BCD, угол DAE является вертикальным углом для угла BCD. Значит:
\[DAE = DCB\]

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что:
\[EAB = DCB\]

4. Рассмотрим угол BCD и его биссектрису. По аналогии с пунктами 1 и 2, мы можем доказать, что:
\[BDC = AED\]

5. Если равные углы AED и BCD взаимно соответствуют друг другу, то четырехугольник ABCD будет параллелограммом.
\[AED \sim BCD\]

Таким образом, мы доказали, что если биссектрисы углов параллельны друг другу, то данный четырехугольник является параллелограммом.

Процесс доказательства был основан на равенстве биссектрис и вертикальных углах, что позволяет нам сделать вывод о параллельности противоположных сторон и углов в четырехугольнике.