Каково разложение вектора XY−→ по векторам BA−→− и BC−→−?

Таисия

51

Для решения этой задачи нам необходимо разложить вектор \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Сначала давайте определимся с системой координат. Предположим, что точка \(B\) имеет координаты \((x_1, y_1)\), а точка \(C\) имеет координаты \((x_2, y_2)\).

Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{BA}\):
\[
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}
\]
где \(\overrightarrow{A}\) - координаты точки \(A\) (пусть они равны \( (x_0, y_0) \)), а \(\overrightarrow{B}\) - координаты точки \(B\). То есть:
\[
\overrightarrow{BA} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)
\]

Аналогично найдем вектор \(\overrightarrow{BC}\):
\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}
\]
где \(\overrightarrow{C}\) - координаты точки \(C\), а \(\overrightarrow{B}\) - координаты точки \(B\). То есть:
\[
\overrightarrow{BC} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)
\]

Теперь, чтобы разложить вектор \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\), мы можем использовать следующую формулу:
\[
\overrightarrow{XY} = \lambda_1 \cdot \overrightarrow{BA} + \lambda_2 \cdot \overrightarrow{BC}
\]
где \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) - коэффициенты, которые мы должны найти.

Для того чтобы найти значения коэффициентов, мы можем воспользоваться системой уравнений. Подставим векторы:
\[
\begin{cases}
X - x_0 = \lambda_1 \cdot (x_0 - x_1) + \lambda_2 \cdot (x_2 - x_1) \\
Y - y_0 = \lambda_1 \cdot (y_0 - y_1) + \lambda_2 \cdot (y_2 - y_1)
\end{cases}
\]
где \(X\) и \(Y\) - координаты точки \(X\).

Мы получили систему из двух уравнений, которую можно решить относительно неизвестных \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\). Решение этой системы позволит нам найти значения коэффициентов и, следовательно, разложение вектора \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Чтобы решить эту систему, я предлагаю использовать метод подстановки или метод Крамера. Оба метода позволят нам найти значения \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) и подставить их в исходное выражение, чтобы получить разложение вектора \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Пожалуйста, предоставьте значения точек \(A\), \(B\), \(C\), \(X\) и \(Y\), и я помогу вам найти конкретное решение.