Каково разложение вектора XY−→ по векторам MC−→− и MB−→−?

Pizhon_3686

37

Разложение вектора \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{MB}\) может быть выполнено с использованием аналитической геометрии и метода параллелограмма.

Для начала, определим координаты начальной точки вектора \(\overrightarrow{XY}\) (точка X) и конечной точки (точка Y). Пусть координаты точки X будут (x₁, y₁), а координаты точки Y - (x₂, y₂).

Теперь определим разности координат между конечной точкой Y и начальной точкой X. Обозначим разности координат как \(\Delta x = x₂ - x₁\) и \(\Delta y = y₂ - y₁\).

Следующим шагом определим разложение вектора \(\overrightarrow{XY}\) по вектору \(\overrightarrow{MC}\). Для этого воспользуемся методом параллелограмма. Пусть вектор \(\overrightarrow{MC}\) имеет координаты (a, b). Тогда разложение вектора \(\overrightarrow{XY}\) по вектору \(\overrightarrow{MC}\) будет иметь вид:

\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XM} + \overrightarrow{MY}\),

где \(\overrightarrow{XM}\) - проекция вектора \(\overrightarrow{XY}\) на вектор \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{MY}\) - проекция вектора \(\overrightarrow{XY}\) на вектор \(\overrightarrow{MB}\).

Для того чтобы найти проекцию вектора \(\overrightarrow{XY}\) на вектор \(\overrightarrow{MC}\), вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{XY}\) и \(\overrightarrow{MC}\), а затем разделим его на квадрат длины вектора \(\overrightarrow{MC}\). Получим следующую формулу:

\(\overrightarrow{XM} = \frac{(\overrightarrow{XY} \cdot \overrightarrow{MC})}{\lVert \overrightarrow{MC} \rVert^2} \cdot \overrightarrow{MC}\).

Аналогично, проекцию вектора \(\overrightarrow{XY}\) на вектор \(\overrightarrow{MB}\) можно найти, вычислив скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{XY}\) и \(\overrightarrow{MB}\), и разделив его на квадрат длины вектора \(\overrightarrow{MB}\). Получим формулу:

\(\overrightarrow{MY} = \frac{(\overrightarrow{XY} \cdot \overrightarrow{MB})}{\lVert \overrightarrow{MB} \rVert^2} \cdot \overrightarrow{MB}\).

Таким образом, разложение вектора \(\overrightarrow{XY}\) по векторам \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{MB}\) будет иметь вид:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{(\overrightarrow{XY} \cdot \overrightarrow{MC})}{\lVert \overrightarrow{MC} \rVert^2} \cdot \overrightarrow{MC} + \frac{(\overrightarrow{XY} \cdot \overrightarrow{MB})}{\lVert \overrightarrow{MB} \rVert^2} \cdot \overrightarrow{MB}\).

Таким образом, выражение для разложения вектора \(\overrightarrow{XY}\) будет зависеть от заданных координат и координат векторов \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{MB}\), а также длин этих векторов.