Каково решение неравенства (3х-7)^2≥(5х-9)^2?

Григорьевич

8

Чтобы решить это неравенство, начнем с раскрытия квадратных скобок.

\((3x - 7)^2 \geq (5x - 9)^2\)

Раскроем скобки:

\((3x - 7)(3x - 7) \geq (5x - 9)(5x - 9)\)

Теперь упростим выражение с обеих сторон:

\(9x^2 - 42x + 49 \geq 25x^2 - 90x + 81\)

Перенесем все члены влево, чтобы получить квадратное уравнение:

\(0 \geq 16x^2 - 48x + 32\)

Теперь попытаемся решить это квадратное уравнение методом факторизации или через дискриминант.

1. Метод факторизации:

Сначала домножим все коэффициенты на 16, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\(0 \geq 16(16x^2 - 48x + 32)\)

Теперь раскроем скобки:

\(0 \geq 256x^2 - 768x + 512\)

Мы видим, что все коэффициенты делятся на 256, поэтому мы можем сократить их:

\(0 \geq x^2 - 3x + 2\)

Факторизуем это выражение:

\(0 \geq (x - 1)(x - 2)\)

Теперь у нас есть два неравенства:

1) \(x - 1 \leq 0\)
2) \(x - 2 \geq 0\)

Решим каждое из неравенств отдельно:

1) \(x - 1 \leq 0\)

Добавим 1 к обеим сторонам:

\(x \leq 1\)

2) \(x - 2 \geq 0\)

Добавим 2 к обеим сторонам:

\(x \geq 2\)

Таким образом, мы получили два неравенства:

1) \(x \leq 1\)
2) \(x \geq 2\)

Теперь найдем их пересечение, чтобы найти общее решение:

Обратите внимание, что оба условия не могут быть выполнены одновременно, поэтому решением данного неравенства является пустое множество, то есть, его решений нет.

2. Метод через дискриминант:

Квадратное уравнение \(16x^2 - 48x + 32 = 0\) имеет дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4(16)(32) = 2304 - 2048 = 256\)

Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 - 16}{32} = \frac{1}{2}\)

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 + 16}{32} = \frac{3}{2}\)

Теперь проверим, в каком интервале неравенство выполняется:

1) Для \(x \leq \frac{1}{2}\):

Подставим x = 0 в исходное неравенство:

\((3(0) - 7)^2 \geq (5(0) - 9)^2\)

\((-7)^2 \geq (-9)^2\)

\(49 \geq 81\)

Это неравенство не выполняется.

2) Для \(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}\):

Подставим x = 1 в исходное неравенство:

\((3(1) - 7)^2 \geq (5(1) - 9)^2\)

\((-4)^2 \geq (-4)^2\)

\(16 \geq 16\)

Это неравенство выполняется.

3) Для \(x \geq \frac{3}{2}\):

Подставим x = 2 в исходное неравенство:

\((3(2) - 7)^2 \geq (5(2) - 9)^2\)

\((-1)^2 \geq (1)^2\)

\(1 \geq 1\)

Это неравенство выполняется.

Таким образом, получаем, что исходное неравенство выполняется только в интервале \(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}\).