Каково решение уравнения (42/х^2+5х-3/х^2-5х=7/х)?

Сквозь_Огонь_И_Воду_2676

1

Хорошо, давайте решим данное уравнение поэтапно. Для начала приведем все дроби к общему знаменателю, чтобы избавиться от них. Общим знаменателем для всех трех дробей будет \(x^2(x^2-5x)\). Тогда уравнение примет вид:

\[
\frac{{42}}{{x^2(x^2-5x)}} + \frac{{5x-3}}{{x^2(x^2-5x)}} = \frac{{7}}{{x}}
\]

Теперь нам нужно сложить две дроби слева и приравнять их к дроби справа. Для этого сначала найдем общий знаменатель для дробей слева. Знаменатель для первой дроби уже есть, поэтому нам нужно найти только знаменатель для второй дроби.

Общий знаменатель для дроби \(\frac{{5x-3}}{{x^2(x^2-5x)}}\) будет \(x^2(x^2-5x)\). Теперь мы можем сложить дроби:

\[
\frac{{42 + (5x-3)}}{{x^2(x^2-5x)}} = \frac{{7}}{{x}}
\]

Продолжим сокращать дроби и упрощать уравнение. После сокращения получим:

\[
\frac{{5x + 39}}{{x^2(x^2-5x)}} = \frac{{7}}{{x}}
\]

Теперь умножим обе части уравнения на \((x^2-5x)\), чтобы избавиться от знаменателя во второй дроби слева:

\[
(x^2-5x) \cdot \frac{{5x + 39}}{{x^2(x^2-5x)}} = (x^2-5x) \cdot \frac{{7}}{{x}}
\]

Это даст нам:

\[
5x + 39 = 7(x^2-5x)
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
5x + 39 = 7x^2 - 35x
\]

Теперь приведем уравнение к квадратичному виду:

\[
7x^2 - 35x - 5x - 39 = 0
\]

Избавимся от двойных переменных:

\[
7x^2 - 40x - 39 = 0
\]

Для решения этого квадратного уравнения, можно использовать квадратную формулу:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

где \(a = 7\), \(b = -40\), и \(c = -39\).

Вычислим:

\[
x = \frac{{-(-40) \pm \sqrt{{(-40)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-39)}}}}{{2 \cdot 7}}
\]

\[
x = \frac{{40 \pm \sqrt{{1600 + 1092}}}}{{14}}
\]

\[
x = \frac{{40 \pm \sqrt{{2692}}}}{{14}}
\]

Рассчитаем значение под корнем:

\[
\sqrt{{2692}} \approx 51.89
\]

Теперь осталось разделить числитель и знаменатель на 14:

\[
x \approx \frac{{40 \pm 51.89}}{{14}}
\]

Рассчитаем два возможных значения:

\[
x_1 \approx \frac{{40 + 51.89}}{{14}} \approx \frac{{91.89}}{{14}} \approx 6.56
\]

\[
x_2 \approx \frac{{40 - 51.89}}{{14}} \approx \frac{{-11.89}}{{14}} \approx -0.85
\]

Таким образом, решением данного уравнения являются два значения "6.56" и "-0.85".