Через вершину B квадрата ABCD проведен отрезок KB так, что он перпендикулярен сторонам AB и BC. Сторона квадрата равна
Через вершину B квадрата ABCD проведен отрезок KB так, что он перпендикулярен сторонам AB и BC. Сторона квадрата равна 8 см, а длина отрезка KB равна 6 см. Найдите значение синусов углов α и β, которые образуют плоскость квадрата с плоскостями KAD и KCD. Введите ответ в виде несокращенной дроби.
Drakon 67
Для начала, давайте посмотрим на рисунок задачи:\[ \begin{array}{c}
A---F---B \\
| | \\
E K G \\
| | \\
D---H---C \\
\end{array} \]
Мы знаем, что отрезок KB перпендикулярен сторонам AB и BC. Из этого следует, что треугольник BKF прямоугольный.
Также, KB является высотой треугольника BKF, и мы знаем, что ее длина равна 6 см.
Теперь давайте рассмотрим треугольник BKF. У него прямой угол у вершины B, а гипотенуза BF равна стороне квадрата AC, то есть 8 см.
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину BF:
\[ BF^2 = BK^2 + FK^2 \]
Подставляя известные значения, получаем:
\[ 8^2 = 6^2 + FK^2 \]
Решаем уравнение:
\[ 64 = 36 + FK^2 \]
\[ FK^2 = 28 \]
\[ FK = \sqrt{28} \]
Теперь давайте рассмотрим треугольник BKF снова. Мы знаем длины двух его сторон: BF равно 8 см, а FK равно \(\sqrt{28}\) см.
Обратим внимание на угол α. Он образован стороной BF и гипотенузой BKF. Мы можем использовать определение синуса:
\[ \sin{\alpha} = \frac{\text{{противоположный катет}}}{\text{{гипотенуза}}} \]
\[ \sin{\alpha} = \frac{BF}{FK} \]
Подставляя значения, получаем:
\[ \sin{\alpha} = \frac{8}{\sqrt{28}} \]
Для того чтобы сократить дробь, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{28}\):
\[ \sin{\alpha} = \frac{8}{\sqrt{28}} \cdot \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{28}} \]
\[ \sin{\alpha} = \frac{8\sqrt{28}}{28} \]
\[ \sin{\alpha} = \frac{8\sqrt{7}}{7} \]
Теперь рассмотрим угол β. Он также образован стороной BF и гипотенузой BKF. Мы можем использовать определение синуса:
\[ \sin{\beta} = \frac{\text{{противоположный катет}}}{\text{{гипотенуза}}} \]
\[ \sin{\beta} = \frac{FK}{BF} \]
Подставляя значения, получаем:
\[ \sin{\beta} = \frac{\sqrt{28}}{8} \]
Для того чтобы сократить дробь, умножаем числитель и знаменатель на \(\frac{1}{2}\):
\[ \sin{\beta} = \frac{\sqrt{28}}{8} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \]
\[ \sin{\beta} = \frac{\sqrt{28}}{16} \]
\[ \sin{\beta} = \frac{\sqrt{7}}{4} \]
Таким образом, мы получили значения синусов углов α и β:
\[ \sin{\alpha} = \frac{8\sqrt{7}}{7} \]
\[ \sin{\beta} = \frac{\sqrt{7}}{4} \]