Каково скалярное произведение векторов a и b, если a=3*u-4*n и b=4*u+4*n, при условии, что векторы u

Molniya_715

3

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\), нам нужно умножить соответствующие компоненты векторов и сложить результаты.

Для начала, давайте выразим векторы \(u\) и \(n\) через их базисные векторы. Поскольку они перпендикулярны, можно представить их как комбинацию базисных векторов \(i\), \(j\) и \(k\). При этом предположим, что они ортонормированы, то есть имеют единичную длину.

Поскольку у нас нет информации о других базисных векторах, предположим, что \(u = i\) и \(n = j\) (это только одно из возможных решений).

Теперь выразим векторы \(a\) и \(b\) через базисные векторы:

\(a = 3u - 4n = 3i - 4j\)

\(b = 4u + 4n = 4i + 4j\)

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение. Для этого умножим соответствующие компоненты векторов \(a\) и \(b\) и сложим результаты:

\(a \cdot b = (3i - 4j) \cdot (4i + 4j)\)

Раскроем скобки:

\(a \cdot b = 3i \cdot 4i + 3i \cdot 4j - 4j \cdot 4i - 4j \cdot 4j\)

Учтем, что базисные векторы \(i\) и \(j\) перпендикулярны и имеют длину 1:

\(a \cdot b = 3 \cdot 4 \cdot (i \cdot i) + 3 \cdot 4 \cdot (i \cdot j) - 4 \cdot 4 \cdot (j \cdot i) - 4 \cdot 4 \cdot (j \cdot j)\)

Так как \(i \cdot i = j \cdot j = 1\) и \(i \cdot j = j \cdot i = 0\) (из-за перпендикулярности базисных векторов), мы можем упростить это выражение:

\(a \cdot b = 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \cdot 0 - 4 \cdot 4 \cdot 0 - 4 \cdot 4 \cdot 1\)

\(a \cdot b = 12 - 16 = -4\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\) равно -4.