Каково скалярное произведение векторов c = -2a + b и d = a - b, если |a| = 4√2, |b| = 8, и (a; b

Станислав

36

Чтобы найти скалярное произведение векторов c и d, мы будем использовать следующую формулу:

\[ c \cdot d = |c| \cdot |d| \cdot \cos(\theta) \]

где |c| и |d| обозначают длины векторов c и d соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

Для начала, нам нужно найти длины векторов c и d, используя данные, предоставленные в задаче:

\[ |a| = 4\sqrt{2} \]
\[ |b| = 8 \]

Теперь, чтобы найти |c|, мы можем использовать формулу:

\[ |c| = |-2a + b| \]

Нам известно, что длина вектора выражается следующим образом:

\[ |v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \]

где \( v_x, v_y, v_z \) - компоненты вектора v в трехмерном пространстве. В данном случае, у нас всего две компоненты (поскольку отсутствует компонента z), поэтому формула сводится к:

\[ |v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]

Применяем эту формулу к вектору c:

\[ |c| = \sqrt{(-2a)^2 + b^2} = \sqrt{4a^2 + b^2} \]

Теперь мы можем заменить значения |a| и |b|, предоставленные в задаче, и вычислить |c|:

\[ |c| = \sqrt{4(4\sqrt{2})^2 + 8^2} = \sqrt{4 \cdot 4^2 \cdot (2^{\frac{1}{2}})^2 + 64} = \sqrt{4 \cdot 4^2 \cdot 2 + 64} = \sqrt{4 \cdot 16 \cdot 2 + 64} = \sqrt{128 + 64} = \sqrt{192} \]

Теперь, чтобы найти |d|, мы используем аналогичную формулу:

\[ |d| = |a - b| \]

\[ |d| = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2} \]

В нашем случае, у нас нет явного значения для векторов a и b, поэтому мы не можем вычислить |d|, пока не узнаем значения компонент векторов a и b. Если в задаче присутствуют значения компонент, пожалуйста, предоставьте их для получения точного ответа.

Далее, чтобы найти угол \(\theta\), нам нужно воспользоваться формулой для скалярного произведения:

\[ c \cdot d = |c| \cdot |d| \cdot \cos(\theta) \]

Теперь мы можем заменить значения |c| и |d|, которые мы вычислили ранее, и решить уравнение относительно \(\theta\):

\[ -2a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) = \sqrt{192} \cdot |d| \cdot \cos(\theta) \]

\[ -2a \cdot a + 2a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = \sqrt{192} \cdot |d| \cdot \cos(\theta) \]

Теперь мы можем решить уравнение, зная значения a и b. Пожалуйста, предоставьте значения компонент векторов a и b, чтобы получить конкретный ответ.