Каково скалярное произведение векторов, представленных на рисунке, если известно, что сторона клетки имеет длину

Медвежонок

54

Для решения этой задачи, давайте сначала определимся, что такое скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними. Оно может быть выражено формулой:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \cos (\theta )$$

где $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ - векторы, $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ - их длины, а $\theta$ - угол между векторами.

Теперь, посмотрим на заданные векторы на рисунке. Для удобства обозначим их как ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}$ и ${\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$. Применяя формулу скалярного произведения, нам нужно найти длины векторов и угол между ними.

Начнем с вычисления длин векторов. Мы знаем, что сторона клетки имеет длину 3 единицы измерения. По рисунку, мы можем определить длины векторов ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}$ и ${\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$ - это расстояния между началом и концом каждого вектора.

Длину вектора можно вычислить по формуле:

$$|\mathbf{v}|=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$$

где $(\mathrm{\Delta }x)$ - разность координат по оси $x$, а $(\mathrm{\Delta }y)$ - разность координат по оси $y$.

Применим эту формулу для каждого вектора:

Для вектора ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}$:
$$|{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}|=\sqrt{(3-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

Для вектора ${\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$:
$$|{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}|=\sqrt{(0-(-3){)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

Теперь, найдем угол $\theta$ между векторами. Мы можем использовать формулу косинуса для этого:

$$\cos (\theta )=\frac{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}}{|{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}|\cdot |{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}|}$$

Подставим значения:

$$\cos (\theta )=\frac{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}}{(3\sqrt{2})\cdot (3\sqrt{2})}$$

Теперь нам нужно найти значение скалярного произведения ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$. Для этого мы можем использовать следующую формулу для двухмерных векторов:

$${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}=v_{1x}\cdot v_{2x}+v_{1y}\cdot v_{2y}$$

где $v_{1x}$ и $v_{1y}$ - компоненты вектора ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}$ по осям $x$ и $y$ соответственно, $v_{2x}$ и $v_{2y}$ - компоненты вектора ${\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$ по осям $x$ и $y$ соответственно.

На рисунке видно, что $v_{1x}=3$ и $v_{1y}=3$, а $v_{2x}=-3$ и $v_{2y}=3$. Подставим эти значения в формулу:

$${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}=(3\cdot -3)+(3\cdot 3)=-9+9=0$$

Теперь, подставим полученные значения в формулу для вычисления косинуса угла $\theta$:

$$\cos (\theta )=\frac{0}{(3\sqrt{2})\cdot (3\sqrt{2})}=\frac{0}{18}=0$$

Таким образом, скалярное произведение векторов, представленных на рисунке, равно 0.э