Каково скалярное произведение векторов ВА и ВС при известных значении длины BC=4 и угла ∠A=67,5° в равнобедренном

Шустр

60

Известно, что треугольник ABC является равнобедренным, а значит, стороны AB и AC равны между собой.

Представим векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$, которые задаются координатами соответствующих конечных и начальных точек. Пусть точка B имеет координаты (0, 0), а точка C имеет координаты (4, 0). Таким образом, конечная точка вектора А будет иметь некоторые координаты (x, y).

Так как векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$ образуют равнобедренный треугольник, то угол ∠A равен половине угла в вершине B, а это 67,5°/2 = 33,75°.

По формулам перевода полярных координат в декартовы координаты получаем:
$$x=r\cdot \cos (\theta )$$
$$y=r\cdot \sin (\theta )$$

Вектор А имеет ту же длину, что и сторона BC, поэтому можно сказать, что
$$r=BC=4$$
$$\theta =33,75°$$

Подставляя эти значения в формулы получаем:
$$x=4\cdot \cos (33,75°)$$
$$y=4\cdot \sin (33,75°)$$

Вычисляя численно, получаем:
$$x\approx 3,32$$
$$y\approx 2,13$$

Таким образом, вектор А задается координатами (3,32, 2,13).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$ по формуле:
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(x_1\cdot x_2)+(y_1\cdot y_2)$

Подставляя значения координат полученных векторов, получаем:
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(3,32\cdot 4)+(2,13\cdot 0)$
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=13,28+0$
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=13,28$

Таким образом, скалярное произведение векторов ВА и ВС равно 13,28.