Каково скалярное произведение векторов ВА и ВС при известных значении длины BC=4 и угла ∠A=67,5° в равнобедренном

Шустр

60

Известно, что треугольник ABC является равнобедренным, а значит, стороны AB и AC равны между собой.

Представим векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\), которые задаются координатами соответствующих конечных и начальных точек. Пусть точка B имеет координаты (0, 0), а точка C имеет координаты (4, 0). Таким образом, конечная точка вектора А будет иметь некоторые координаты (x, y).

Так как векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) образуют равнобедренный треугольник, то угол ∠A равен половине угла в вершине B, а это 67,5°/2 = 33,75°.

По формулам перевода полярных координат в декартовы координаты получаем:
\[x = r \cdot \cos(\theta)\]
\[y = r \cdot \sin(\theta)\]

Вектор А имеет ту же длину, что и сторона BC, поэтому можно сказать, что
\[r = BC = 4\]
\[\theta = 33,75°\]

Подставляя эти значения в формулы получаем:
\[x = 4 \cdot \cos(33,75°)\]
\[y = 4 \cdot \sin(33,75°)\]

Вычисляя численно, получаем:
\[x \approx 3,32\]
\[y \approx 2,13\]

Таким образом, вектор А задается координатами (3,32, 2,13).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) по формуле:
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (x_1 \cdot x_2) + (y_1 \cdot y_2)\)

Подставляя значения координат полученных векторов, получаем:
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (3,32 \cdot 4) + (2,13 \cdot 0)\)
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 13,28 + 0\)
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 13,28\)

Таким образом, скалярное произведение векторов ВА и ВС равно 13,28.