Каково смещение шарика от положения равновесия через 1/12 периода его гармонических колебаний? Шарик начинает свои

Ястреб

64

Для решения задачи нам понадобится знание некоторых основных формул гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний \(T\) (время, за которое шарик совершает одно полное колебание) связан с частотой колебаний \(f\) следующим соотношением:

\[T = \frac{1}{f}\]

Так как в задаче дано значение периода колебаний неизвестно, мы не можем использовать эту формулу непосредственно. Однако, нам дана информация о том, что шарик совершает 1/12 периода гармонических колебаний, то есть время, за которое шарик совершает 1/12 полного колебания равно \(T/12\).

Смещение шарика от положения равновесия \(x\) можно найти с помощью формулы:

\[x = A \cdot \cos(2\pi f t + \phi)\]

где \(A\) - амплитуда колебаний (в нашем случае равна 0.1 м), \(f\) - частота колебаний (неизвестна), \(t\) - время (ранее упомянутое время 1/12 периода колебаний) и \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Мы можем заметить, что в момент времени, когда шарик находится в положении равновесия, его смещение равно 0. То есть \(x = 0\) при \(t = 0\). Это позволяет нам найти начальную фазу \(\phi\):

\[0 = A \cdot \cos(2\pi f \cdot 0 + \phi)\]

Поскольку \(\cos(0 + \phi) = \cos(\phi)\), получаем:

\[0 = A \cdot \cos(\phi)\]

Так как \(A\) не равна нулю, то единственное решение этого уравнения - \(\cos(\phi) = 0\), а значит \(\phi = \frac{\pi}{2}\).

Подставляя известные значения в формулу для смещения \(x\), получаем:

\[x = A \cdot \cos(2\pi f \cdot \frac{T}{12} + \frac{\pi}{2})\]

Теперь мы можем выразить частоту колебаний \(f\) через период \(T\), используя соотношение \(T = \frac{1}{f}\):

\[x = A \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{1}{f} \cdot \frac{T}{12} + \frac{\pi}{2})\]

Теперь мы можем найти смещение шарика от положения равновесия через 1/12 периода его гармонических колебаний.