Каково соотношение AM:BQ, если на рисунке 12 точек так расположены, что AM:MB=3:4, BN:NC=5:2 и MP||NQ||AC?

Солнечный_Смайл

18

Для решения этой задачи, давайте взглянем на данный рисунок:

\[
\begin{array}{ccc}
A & M & B \\
| & | & | \\
--- & --- & --- \\
N & Q & C
\end{array}
\]

Мы знаем, что \(AM:MB = 3:4\) и \(BN:NC = 5:2\). Нам также дано, что прямые \(MP\) и \(NQ\) параллельны прямой \(AC\).

Воспользуемся свойством параллельных прямых, называемым теоремой Талеса. Эта теорема утверждает, что если провести две параллельные прямые \(MP\) и \(NQ\), пересекающие сторону \(AB\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно, то отношение длин отрезков, на которые эти прямые делят сторону \(AB\), равно отношению длин отрезков, на которые эти прямые делят сторону \(AC\).

Применим теорему Талеса к нашей задаче. Известно, что \(AM:MB = 3:4\). Давайте обозначим отношение \(AM:MB\) через переменную \(k\). Тогда \(AM = 3k\) и \(MB = 4k\).

Также мы знаем, что \(BN:NC = 5:2\). Обозначим отношение \(BN:NC\) через переменную \(m\). Тогда \(BN = 5m\) и \(NC = 2m\).

Теперь давайте найдем отношение \(AM:BQ\). Для этого проведем линию \(BM\) и определим точку пересечения с прямой \(NQ\) - обозначим ее \(P\).

По теореме Талеса, отношение \(AM:BQ\) будет равно отношению отрезков \(MP:PQ\).

Мы знаем, что \(AM = 3k\), поскольку это отношение известно. Следовательно, нам нужно найти отношение \(PQ\) к \(MP\).

Заметим, что треугольники \(BMP\) и \(BNQ\) подобны, так как у них все соответствующие углы равны (они являются соответственными углами при пересечении двух параллельных прямых).

Таким образом, отношение длин сторон треугольников \(BNQ\) и \(BMP\) будет равно отношению длин сторон \(NQ\) и \(MP\).

Известно, что \(BN = 5m\) и \(MB = 4k\). Аналогично, отношение \(BN:MB\) равно \(\cfrac{5m}{4k} = \cfrac{5}{4} \cdot \cfrac{m}{k}\).

Также, мы знаем, что \(NQ\) и \(MP\) - стороны треугольников \(BNQ\) и \(BMP\) соответственно. Следовательно, мы можем записать отношение \(NQ:MP = \cfrac{5}{4} \cdot \cfrac{m}{k}\).

Теперь нам нужно найти отношение \(PQ\) к \(MP\) в треугольнике \(BMP\).

Мы можем записать это отношение как \(PQ:MP = NQ:MP = \cfrac{5}{4} \cdot \cfrac{m}{k}\).

Используя полученное выражение, мы можем найти отношение \(AM:BQ\) следующим образом:

\[
AM:BQ = MP:PQ = MP:(NQ:MP) = MP: \left( \cfrac{5}{4} \cdot \cfrac{m}{k} \right)
\]

Таким образом, соотношение \(AM:BQ\) равно \(MP: \left( \cfrac{5}{4} \cdot \cfrac{m}{k} \right)\).