Каково соотношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности в данном квадрате, где окружность

Космос

46

Чтобы решить эту задачу, давайте взглянем на геометрию квадрата и окружности.

Пусть сторона квадрата равна \(a\), а радиус описанной окружности равен \(R\).

Первым шагом найдем длину диагонали квадрата. По теореме Пифагора, диагональ квадрата равна \(a\sqrt{2}\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный диагональю квадрата и радиусом описанной окружности. Этот треугольник является прямоугольным треугольником, где гипотенуза - это диагональ квадрата, а катетами - это радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности.

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, мы можем получить следующее уравнение:

\((R + r)^2 = (\sqrt{2}a)^2\)

Откроем скобки:

\(R^2 + 2Rr + r^2 = 2a^2\)

Заметим, что \(R + r\) представляет собой диагональ квадрата (по определению), а значит равно \(a\sqrt{2}\). Подставим это значение в уравнение:

\((a\sqrt{2})^2 = 2a^2\)

\(2a^2 = 2a^2\)

Таким образом, мы видим, что радиус описанной окружности \(R\) и радиус вписанной окружности \(r\) равны.

Ответ: Соотношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности в данном квадрате равно 1:1.