Каково соотношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности в данном квадрате, где окружность

Космос

46

Чтобы решить эту задачу, давайте взглянем на геометрию квадрата и окружности.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а радиус описанной окружности равен $R$.

Первым шагом найдем длину диагонали квадрата. По теореме Пифагора, диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$.

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный диагональю квадрата и радиусом описанной окружности. Этот треугольник является прямоугольным треугольником, где гипотенуза - это диагональ квадрата, а катетами - это радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности.

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, мы можем получить следующее уравнение:

$(R+r{)}^2=(\sqrt{2}a{)}^2$

Откроем скобки:

$R^2+2Rr+r^2=2a^2$

Заметим, что $R+r$ представляет собой диагональ квадрата (по определению), а значит равно $a\sqrt{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$(a\sqrt{2}{)}^2=2a^2$

$2a^2=2a^2$

Таким образом, мы видим, что радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$ равны.

Ответ: Соотношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности в данном квадрате равно 1:1.