Сколько сантиметров составляет длина диагонали грани куба, если известно, что расстояние от вершины верхнего основания

Martyshka

39

Для решения этой задачи давайте рассмотрим куб. У куба есть шесть граней, и каждая грань является квадратом. Давайте обозначим длину стороны одного из этих квадратов как \(a\). Нам нужно найти длину диагонали одной из таких граней.

Чтобы найти расстояние от вершины верхнего основания до центра нижнего основания, давайте разделим куб на две пирамиды с общим основанием - нижней гранью куба. Тогда расстояние от вершины верхней грани до центра нижней грани будет являться высотой одной из этих пирамид.

Теперь давайте рассмотрим одну из этих пирамид. Она имеет основание, которое является квадратом со стороной \(a\), и высоту, которая является расстоянием от вершины верхней грани до центра нижней грани.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали этой грани. В треугольнике, состоящем из половин стороны основания пирамиды, высоты пирамиды и диагонали грани, у нас есть следующее соотношение:

\[c^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2\]

где \(c\) - длина диагонали грани, \(a\) - длина стороны основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Теперь у нас есть два неизвестных значения - \(c\) и \(h\), и одно известное значение - \(a\). Нам нужно найти \(c\).

Из условия задачи нам известно, что расстояние от вершины верхнего основания до центра нижнего основания равно \(a\), что есть высота пирамиды.

Подставим известные значения в уравнение:

\[c^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2\]

\[c^2 = \frac{a^2}{4} + a^2\]

\[c^2 = \frac{a^2 + 4a^2}{4}\]

\[c^2 = \frac{5a^2}{4}\]

Давайте найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[c = \sqrt{\frac{5a^2}{4}}\]

Используем свойство корня, чтобы упростить выражение:

\[c = \frac{\sqrt{5a^2}}{\sqrt{4}}\]

\[c = \frac{\sqrt{5} \cdot a}{2}\]

Таким образом, длина диагонали грани куба (\(c\)) равна \(\frac{\sqrt{5} \cdot a}{2}\) сантиметра.