Каково сравнение длин отрезков AD, если площадь треугольник ABD равна площади треугольника BDC?

Золотой_Робин Гуд

55

Для начала давайте разберемся, как определить площадь треугольника.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, а \(p\) - полупериметр треугольника, который вычисляется как половина суммы длин сторон треугольника:

\[p = \frac{a+b+c}{2}\]

Теперь давайте применим эти формулы к треугольнику ABD и треугольнику BDC, и сравним площади этих треугольников.

Пусть \(AD = x\) - длина отрезка AD.

Тогда, для треугольника ABD, стороны будут следующими: \(AB = x\), \(BD = a\) и \(DA = b\).

А для треугольника BDC, стороны будут следующими: \(BD = a\), \(DC = b\) и \(CB = x\).

Теперь вычислим площади треугольников.

Для треугольника ABD:
\[p = \frac{x+a+b}{2}\]
\[S_{ABD} = \sqrt{p(p-x)(p-a)(p-b)}\]

Для треугольника BDC:
\[p = \frac{a+b+x}{2}\]
\[S_{BDC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-x)}\]

Так как мы знаем, что \(S_{ABD} = S_{BDC}\), мы можем приравнять выражения для площадей треугольников:

\[\sqrt{p(p-x)(p-a)(p-b)} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-x)}\]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[p(p-x)(p-a)(p-b) = p(p-a)(p-b)(p-x)\]

Так как \(p(p-a)(p-b)\) не равно нулю (отрицательное число не может быть площадью треугольника), мы можем сократить это слагаемое с обеих сторон уравнения:

\[p-x = p-x\]

Таким образом, мы получаем, что \(x\) равно \(x\).

Получается, что длина отрезка AD равна длине отрезка AD.

Вывод: Длина отрезка AD равна длине отрезка AD.